e pede para verificar se a sequência \{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}} converge ou diverge.\n
Informações relevantes que temos:
A expressão de a_{n} pode ser escrita como uma potência de algo que tende a 1 quando n\to\infty.
Precisamos estudar o comportamento de a_{n} quando n cresce indefinidamente e decidir se existe um limite finito (convergência) ou não (divergência).
Passo 2
Primeira manipulação para ver a forma mais clara. Reescrevo a fração dentro da potência de forma a destacar um termo que tende a 1:
\frac{n+3}{n+1} = 1 + \frac{2}{n+1}.
Portanto
a_{n}=\left(1+\frac{2}{n+1}\right)^{n}.
Isso já é útil porque sequências da forma \left(1+\dfrac{\text{algo pequeno}}{\text{algo grande}}\right)^{\text{algo}} costumam relacionar-se com a constante e. Vou explorar essa conexão.
Passo 3
Estratégia: relacionar a_{n} com uma forma conhecida cujo limite é e^{\text{algo}}. Uma manipulação padrão é multiplicar e dividir por (1+\tfrac{2}{n+1}) para obter uma potência com expoente n+1. Faço isso:
Essa reescrita é exata (basta multiplicar e dividir pelo mesmo fator). Agora analiso o limite do numerador e do denominador separadamente quando n\to\infty.
Passo 4
Estudo o denominador:
1+\frac{2}{n+1}\xrightarrow[n\to\infty]{}1,
pois \dfrac{2}{n+1}\to0. Então o denominador tende para 1.
Agora o numerador:
\left(1+\frac{2}{n+1}\right)^{n+1}.
Aqui há uma forma padrão: se m\to\infty, \left(1+\dfrac{t}{m}\right)^{m}\to e^{t}. Vou justificar essa forma em detalhe no próximo passo com uma técnica via logaritmo natural.
Passo 5
Lema útil (e simples de justificar): para qualquer constante real t,
Agora, quando m\to\infty, temos \dfrac{t}{m}\to0. Usamos o limite conhecido (que se prova por série de Taylor ou pelo limite fundamental do logaritmo)
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.
Aplicando com x=\dfrac{t}{m}, obtemos
\lim_{m\to\infty}\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{t}{m}\right)}{\dfrac{1}{m}} =\lim_{m\to\infty}\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{t}{m}\right)}{\dfrac{t}{m}}\cdot t =1\cdot t = t.
Logo o logaritmo da potência tende a t. Exponenciando, obtemos
Quando n\to\infty, \dfrac{n}{n+1}\to1 e, como no Lema, (n+1)\ln\!\left(1+\dfrac{2}{n+1}\right)\to 2. Logo \ln a_{n}\to 2. Exponenciando, a_{n}\to e^{2}. (Mesma conclusão, reforçando a ideia.)
Passo 8
Interpretação intuitiva e checagem numérica rápida (para ganhar confiança): para n grande, o fator dentro da potência é muito próximo de 1, mas o expoente n é grande, então há um efeito de equilíbrio que produz uma constante diferente de 1. Por exemplo, calculando numericamente (apenas para verificação mental): para n=99,