Questão 22. Considere a sequência
a_{n}=\left(\frac{n+3}{n+1}\right)^{n} .
Verifique se
\left\{a_{n}\right\}_{n \in \mathbb{N}}
é convergente ou divergente.

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=\left(\frac{n+3}{n+1}\right)^{n}
e pede para verificar se a sequência \{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}} converge ou diverge.\n
Informações relevantes que temos:
  • A expressão de a_{n} pode ser escrita como uma potência de algo que tende a 1 quando n\to\infty.
  • Precisamos estudar o comportamento de a_{n} quando n cresce indefinidamente e decidir se existe um limite finito (convergência) ou não (divergência).

Passo 2

Primeira manipulação para ver a forma mais clara. Reescrevo a fração dentro da potência de forma a destacar um termo que tende a 1:
\frac{n+3}{n+1} = 1 + \frac{2}{n+1}.
Portanto
a_{n}=\left(1+\frac{2}{n+1}\right)^{n}.
Isso já é útil porque sequências da forma \left(1+\dfrac{\text{algo pequeno}}{\text{algo grande}}\right)^{\text{algo}} costumam relacionar-se com a constante e. Vou explorar essa conexão.

Passo 3

Estratégia: relacionar a_{n} com uma forma conhecida cujo limite é e^{\text{algo}}. Uma manipulação padrão é multiplicar e dividir por (1+\tfrac{2}{n+1}) para obter uma potência com expoente n+1. Faço isso:
a_{n}=\left(1+\frac{2}{n+1}\right)^{n} =\frac{\left(1+\dfrac{2}{n+1}\right)^{\,n+1}}{1+\dfrac{2}{n+1}}.
Essa reescrita é exata (basta multiplicar e dividir pelo mesmo fator). Agora analiso o limite do numerador e do denominador separadamente quando n\to\infty.

Passo 4

Estudo o denominador:
1+\frac{2}{n+1}\xrightarrow[n\to\infty]{}1,
pois \dfrac{2}{n+1}\to0. Então o denominador tende para 1.
Agora o numerador:
\left(1+\frac{2}{n+1}\right)^{n+1}.
Aqui há uma forma padrão: se m\to\infty, \left(1+\dfrac{t}{m}\right)^{m}\to e^{t}. Vou justificar essa forma em detalhe no próximo passo com uma técnica via logaritmo natural.

Passo 5

Lema útil (e simples de justificar): para qualquer constante real t,
\lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{t}{m}\right)^{m}=e^{t}.
Justificativa (passo a passo, sem pular etapas): tome logaritmo natural da expressão:
\ln\left[\left(1+\frac{t}{m}\right)^{m}\right]=m\ln\!\left(1+\frac{t}{m}\right).
Coloco isso na forma de quociente conveniente:
m\ln\!\left(1+\frac{t}{m}\right)=\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{t}{m}\right)}{\dfrac{1}{m}}.
Agora, quando m\to\infty, temos \dfrac{t}{m}\to0. Usamos o limite conhecido (que se prova por série de Taylor ou pelo limite fundamental do logaritmo)
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.
Aplicando com x=\dfrac{t}{m}, obtemos
\lim_{m\to\infty}\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{t}{m}\right)}{\dfrac{1}{m}} =\lim_{m\to\infty}\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{t}{m}\right)}{\dfrac{t}{m}}\cdot t =1\cdot t = t.
Logo o logaritmo da potência tende a t. Exponenciando, obtemos
\lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{t}{m}\right)^{m}=e^{t}.
Esse é o resultado que vou usar com t=2.

Passo 6

Aplicando o lema com m=n+1 e t=2, temos
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{n+1}\right)^{\,n+1}=e^{2}.
Voltando à expressão do Passo 3,
a_{n}=\frac{\left(1+\dfrac{2}{n+1}\right)^{\,n+1}}{1+\dfrac{2}{n+1}},
pelo que, ao tomar limites:
  • o numerador tende a e^{2},
  • o denominador tende a 1.
Portanto, pelo limite do quociente (se numerador e denominador têm limites e o denominador não é zero),
\lim_{n\to\infty} a_{n} = \frac{e^{2}}{1}=e^{2}.

Passo 7

Alternativa via logaritmo direto (mesma conclusão, só para pedagógico): considere \ln a_{n}=n\ln\!\left(1+\dfrac{2}{n+1}\right). Escreva
\ln a_{n}=\frac{n}{n+1}\cdot (n+1)\ln\!\left(1+\frac{2}{n+1}\right).
Quando n\to\infty, \dfrac{n}{n+1}\to1 e, como no Lema, (n+1)\ln\!\left(1+\dfrac{2}{n+1}\right)\to 2. Logo \ln a_{n}\to 2. Exponenciando, a_{n}\to e^{2}. (Mesma conclusão, reforçando a ideia.)

Passo 8

Interpretação intuitiva e checagem numérica rápida (para ganhar confiança): para n grande, o fator dentro da potência é muito próximo de 1, mas o expoente n é grande, então há um efeito de equilíbrio que produz uma constante diferente de 1. Por exemplo, calculando numericamente (apenas para verificação mental): para n=99,
a_{99}=\left(1+\frac{2}{100}\right)^{99}\approx\left(1{,}02\right)^{99}\approx e^{2}\approx 7{,}389\ldots
Isso confirma que a sequência tende para um número em torno de 7{,}389, que é e^{2}.

Resposta

\displaystyle e^{2}

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