Resolver as seguintes equações de Euler-Cauchy.
c)
.
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial chamada Euler-Cauchy. Essas equações têm coeficientes que variam de forma específica, geralmente em potências da variável independente. Para resolver, vamos precisar manipular a equação para facilitar e encontrar tanto a solução geral quanto uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Observamos que todos os termos têm fatores de
elevados a alguma potência. Para facilitar, vamos fazer a substituição
. Isso significa que
, então derivadas em relação a
são iguais às derivadas em relação a
. Nossa equação fica:
Passo 3
Agora, dividimos toda a equação por
para simplificar:
Passo 4
Essa forma ainda está complicada, então vamos tentar uma solução por substituição. Supomos que a solução geral
é composta pela solução da equação homogênea (
) mais uma solução particular. Vamos primeiro resolver a parte homogênea:
Passo 5
Assumimos uma solução da forma
. Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Passo 6
Fatorando
e igualando os coeficientes:
Expandindo os termos:
Passo 7
Resolvendo a equação cúbica
. Testamos possíveis raízes inteiras e encontramos
:
Então, fatoramos
:
Resolvendo
:
Passo 8
As soluções da equação homogênea são:
Onde
,
, e
são constantes arbitrárias.
Passo 9
Agora, encontramos uma solução particular
. Como o lado direito é
, tentamos uma solução da forma:
Calculamos as derivadas necessárias e substituímos na equação original para encontrar
.
Passo 10
Após cálculos (que envolvem derivar
, substituir na equação e resolver para
), encontramos:
Portanto, a solução particular é:
Passo 11
Juntando a solução homogênea com a particular, temos a solução geral da equação:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
,
e
são constantes arbitrárias.