Resolver as seguintes equações de Euler-Cauchy.
c) (1+x)^3 y^prime prime prime+9(1+x)^2 y^prime prime+18(1+x) y^prime+6 y=ln (1+x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial chamada Euler-Cauchy. Essas equações têm coeficientes que variam de forma específica, geralmente em potências da variável independente. Para resolver, vamos precisar manipular a equação para facilitar e encontrar tanto a solução geral quanto uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Observamos que todos os termos têm fatores de (1 + x) elevados a alguma potência. Para facilitar, vamos fazer a substituição z = 1 + x. Isso significa que dz/dx = 1, então derivadas em relação a x são iguais às derivadas em relação a z. Nossa equação fica:
z^3 d^3 ydz^3 + 9z^2 d^2 ydz^2 + 18z dydz + 6y = ln z

Passo 3

Agora, dividimos toda a equação por z^3 para simplificar:
d^3 ydz^3 + 9z d^2 ydz^2 + 18z^2 dydz + 6z^3 y = ln zz^3

Passo 4

Essa forma ainda está complicada, então vamos tentar uma solução por substituição. Supomos que a solução geral y é composta pela solução da equação homogênea ( =0) mais uma solução particular. Vamos primeiro resolver a parte homogênea:
d^3 ydz^3 + 9z d^2 ydz^2 + 18z^2 dydz + 6z^3 y = 0

Passo 5

Assumimos uma solução da forma y = z^m. Calculamos as derivadas:
dydz = m z^m-1
d^2 ydz^2 = m(m-1) z^m-2
d^3 ydz^3 = m(m-1)(m-2) z^m-3
Substituindo na equação homogênea:
m(m-1)(m-2) z^m-3 + 9m(m-1) z^m-3 + 18m z^m-3 + 6 z^m-3 = 0

Passo 6

Fatorando z^m-3 e igualando os coeficientes:
m(m-1)(m-2) + 9m(m-1) + 18m + 6 = 0
Expandindo os termos:
m^3 - 3m^2 + 2m + 9m^2 - 9m + 18m + 6 = 0
m^3 + 6m^2 + 11m + 6 = 0

Passo 7

Resolvendo a equação cúbica m^3 + 6m^2 + 11m + 6 = 0. Testamos possíveis raízes inteiras e encontramos m = -1:
(-1)^3 + 6(-1)^2 + 11(-1) + 6 = -1 + 6 - 11 + 6 = 0
Então, fatoramos (m + 1):
(m + 1)(m^2 + 5m + 6) = 0
Resolvendo m^2 + 5m + 6 = 0:
m = -5 pm raiz25 - 242 = -5 pm 12 Rightarrow m = -2 ou m = -3

Passo 8

As soluções da equação homogênea são:
yh = C1 z^-1 + C2 z^-2 + C3 z^-3
Onde C1, C2, e C3 são constantes arbitrárias.

Passo 9

Agora, encontramos uma solução particular yp. Como o lado direito é ln z / z^3, tentamos uma solução da forma:
yp = A ln zz^3
Calculamos as derivadas necessárias e substituímos na equação original para encontrar A.

Passo 10

Após cálculos (que envolvem derivar yp, substituir na equação e resolver para A), encontramos:
A = -16
Portanto, a solução particular é:
yp = -ln z6 z^3

Passo 11

Juntando a solução homogênea com a particular, temos a solução geral da equação:
y = C1 z^-1 + C2 z^-2 + C3 z^-3 - ln z6 z^3
Lembrando que z = 1 + x, substituímos de volta:
y = C11+x + C2(1+x)^2 + C3(1+x)^3 - ln(1+x)6(1+x)^3

Resposta

A solução geral da equação é:
y = C11+x + C2(1+x)^2 + C3(1+x)^3 - ln(1+x)6(1+x)^3
Onde C1, C2 e C3 são constantes arbitrárias.

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