Dê o domínio e esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão! A gente precisa encontrar o domínio e esboçar o gráfico da função $ g(x) $, que é definida por partes. Isso significa que a função se comporta de maneira diferente dependendo do valor de $ x $. Para isso, vamos precisar entender conceitos como domínio de função e como representar graficamente funções segmentadas.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função $ g(x) $. O domínio é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. Olhando para a definição de $ g(x) $:
Aqui, vemos que para qualquer valor de $ x $, a função está definida por uma das duas expressões. Não há restrições como divisão por zero ou raiz quadrada de número negativo. Portanto, o domínio abrange todos os números reais.
Passo 3
Agora, vamos esboçar o gráfico da função $ g(x) $. Como é uma função por partes, vamos analisar cada segmento separadamente.
-
Para $ x \leq -1 $:
A função é $ g(x) = 2x $, que é uma reta com coeficiente angular 2 e intercepto na origem. Isso significa que para cada aumento de 1 em $ x $, $ g(x) $ aumenta 2. -
Para $ x > -1 $:
A função é $ g(x) = -x + 1 $, que também é uma reta, mas com coeficiente angular -1 e intercepto em 1. Aqui, para cada aumento de 1 em $ x $, $ g(x) $ diminui 1.
Passo 4
Vamos encontrar o ponto onde as duas partes da função se encontram, ou seja, o valor de $ x = -1 $.
-
Substituindo $ x = -1 $ na primeira parte:
-
Substituindo $ x = -1 $ na segunda parte:
Como estamos lidando com uma função definida por partes, precisamos garantir que o valor em $ x = -1 $ seja consistente. Geralmente, o ponto de transição é definido pela primeira expressão, então $ g(-1) = -2 $.
Passo 5
Com essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Para $ x \leq -1 $: A reta passa por
e segue com inclinação positiva. - Para $ x > -1 $: A reta inicia em
mas com inclinação negativa, cruzando o eixo $ y $ em .
Isso resulta em um gráfico que tem duas linhas retas que se encontram no ponto
, formando uma “V” virado para baixo.
Resposta
O domínio da função $ g(x) $ é todos os números reais ($ \mathbb{R} $). O gráfico de $ g(x) $ é formado por duas retas: para $ x \leq -1 $, uma reta com inclinação 2 passando por
, e para $ x > -1 $, uma reta com inclinação -1 que também passa por
, formando uma junção suave nesse ponto.