Resolver as seguintes equações modulares em R : (Lembre-se de impor a condição de o termo do lado direito da igualdade ser positivo!)
|2 x-5|=x-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a equação lvert 2x - 5rvert = x - 1. Este é um problema de equação modular, onde usamos a definição de valor absoluto e impomos a condição de não-negatividade no termo do lado direito, ou seja x - 1 >= 0. Vamos determinar primeiro o domínio e depois resolver a equação por casos.

Passo 2

Impondo x - 1 >= 0 para que o lado direito seja não-negativo, obtemos
x >= 1
Em seguida, analisamos o sinal de 2x - 5 para aplicar a definição de valor absoluto em dois casos, mantendo sempre x >= 1:
  1. 2x - 5 >= 0, ou seja x >= 52.
  2. 2x - 5 < 0, ou seja 1 <= x < 52.

Passo 3

No caso x >= 52, vale lvert 2x - 5rvert = 2x - 5. A equação torna-se
2x - 5 = x - 1
Isolando x:
2x - x = -1 + 5,
x = 4
Como 4 >= tfrac52 e 4 >= 1, x = 4 é solução válida neste caso.

Passo 4

No caso 1 <= x < 52, vale lvert 2x - 5rvert = 5 - 2x. A equação fica
5 - 2x = x - 1
Reagrupando termos:
5 + 1 = x + 2x,
6 = 3x,
x = 2
Como 1 <= 2 < tfrac52, x = 2 é solução válida neste caso.

Passo 5

As soluções que satisfazem a equação e o domínio x >= 1 são x = 2 e x = 4.

Resposta

x = 2 ou x = 4

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