Resolver as seguintes equações modulares em R : (Lembre-se de impor a condição de o termo do lado direito da igualdade ser positivo!)

Passo 1

Na questão, queremos resolver a equação |2x^2+15x-3| = x^2+2x-3 em R, lembrando de impor que o termo do lado direito seja não negativo, ou seja, x^2+2x-3 >= 0. O conteúdo envolve equações com valor absoluto e desigualdades de segundo grau.

Passo 2

Para garantir que o lado direito seja não negativo, resolvemos x^2+2x-3 >= 0. As raízes são x=-3 e x=1, então a desigualdade vale para x<= -3 ou x>= 1.

Passo 3

Analisamos o valor absoluto |2x^2+15x-3|. No primeiro caso, supondo 2x^2+15x-3 >= 0, a equação vira
2x^2+15x-3 = x^2+2x-3
Simplificando, obtemos x^2+13x=0, cujas raízes são x=0 e x=-13.

Passo 4

Verificamos quais dessas soluções satisfazem 2x^2+15x-3>=0 e também x<= -3 ou x>= 1. Para x=0 falha o domínio x>=1, e para x=-13 ambas condições são atendidas. Logo, x=-13 é solução.

Passo 5

No segundo caso, supondo 2x^2+15x-3<0, a equação fica
-2x^2-15x+3 = x^2+2x-3
Reagrupando, chega-se a 3x^2+17x-6=0, cuja fórmula de Bhaskara dá x=tfrac13 ou x=-6.

Passo 6

Testamos cada candidato: para x=1/3, 2x^2+15x-3>0 falha o caso e x^2+2x-3<0 falha o domínio. Para x=-6, temos 2x^2+15x-3<0 e x<= -3, então vale. Portanto, x=-6 é solução.

Passo 7

Concluindo, as únicas soluções reais que atendem a equação e a condição de positividade do lado direito são x=-13 e x=-6.

Resposta

-13 e -6

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