Determine se a integral converge ou diverge.
integral0^infty x e^-5 x d x

Passo 1

Primeiro passo: Temos a integral imprópria
integral0^infty x e^-5x ,dx
O conteúdo envolvido é integral imprópria e a técnica de integração por partes (ou identidades da função Gama) para calcular seu valor. Precisamos verificar convergência em 0 e em infty e depois calcular o valor.

Passo 2

Segundo passo: Analisando a convergência
  • Perto de x=0, o integrando x e^-5xsim x é finito e bem comportado.
  • Para xtoinfty, o fator exponencial e^-5x domina e faz o integrando decair rapidamente a zero.
    Assim, a integral converge.

Passo 3

Terceiro passo: Cálculo por integração por partes
Escolhemos
u = x e dv = e^-5x ,dx. Então
du = dx e
v = integral e^-5x ,dx = -tfrac15e^-5x
Usando
$$
\int u,dv = uv - \int v,du,
integral u,dv = uv - integral v,du,
\int_{0}^{\infty} x e^{-5x} ,dx = \Bigl(-\tfrac{x}{5}e{-5x}\Bigr)\Big|_{0}{\infty} + \int_{0}^{\infty} \tfrac{1}{5}e^{-5x} ,dx.
$$

Passo 4

Quarto passo: Avaliação dos limites e resultado
  • O termo -tfracx5e^-5x vai a zero em x=0 e também em xtoinfty por causa do decaimento exponencial.
  • Resta calcular
integral0^infty tfrac15e^-5x ,dx = tfrac15 cdot l(-tfrac15e^-5xr)|0^infty = tfrac15 cdot tfrac15 = tfrac125
Logo, a integral converge e seu valor é 1/25.

Resposta

Converge e vale tfrac125.

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