Resolver os seguintes exercicios sobre trigonometria e funçöes trigonométricas.
Seja \theta \in(\pi / 2, \pi). Então, se \operatorname{sen} \theta=\frac{3}{5}, determine
\cos \theta \text { e } \cos (\theta+\pi)

Passo 1

O enunciado diz que \theta\in\bigl(\tfrac{\pi}{2},\pi\bigr) (segundo quadrante) e que \sin\theta=\tfrac{3}{5}. Precisamos usar a identidade pitagórica para achar \cos\theta e em seguida a fórmula de soma de ângulos para \cos(\theta+\pi).

Passo 2

Pela identidade pitagórica:
\cos^2\theta \;=\;1-\sin^2\theta \;=\;1-\Bigl(\tfrac{3}{5}\Bigr)^2 \;=\;1-\tfrac{9}{25} \;=\;\tfrac{16}{25}.
Como \theta está no segundo quadrante, \cos\theta<0. Logo
\cos\theta=-\sqrt{\tfrac{16}{25}}=-\tfrac{4}{5}.

Passo 3

Para \cos(\theta+\pi) usamos
\cos(\theta+\pi) =\cos\theta\cos\pi-\sin\theta\sin\pi =\cos\theta\cdot(-1)-\sin\theta\cdot0 =-\cos\theta.
Substituindo \cos\theta=-\tfrac{4}{5}, vem
\cos(\theta+\pi)= -\bigl(-\tfrac{4}{5}\bigr)=\tfrac{4}{5}.

Resposta

\cos\theta=-\tfrac{4}{5}
\cos(\theta+\pi)=\tfrac{4}{5}

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