(3,5 pontos) Considere as funçōes f, g e h definidas, respectivamente por
f(x)=\frac{8 x^{2}}{x-6}+x \ln \left(\frac{18-x}{x+6}\right), \quad g(x)=\frac{1+x}{1-x} \text { e } h(x)=\frac{x}{1-x}
Entāo,
a) ( 2,0 pontos) Determinar o domínio da função f.
b) ( 1.5 pontos) Calcular a funçāo g \circ h com seu respectivo domínio.

Passo 1

O enunciado fornece as funções
f(x)=\frac{8x^{2}}{x-6}+x\ln\!\biggl(\frac{18-x}{x+6}\biggr),\quad g(x)=\frac{1+x}{1-x},\quad h(x)=\frac{x}{1-x}.
Pede-se (a) o domínio de f (envolve racional e logaritmo) e (b) a composição g\circ h com seu domínio.

Passo 2

Para achar o domínio de f, identificamos duas restrições:
  1. O denominador x-6 não pode ser zero, logo
x\neq 6.
  1. O argumento do logaritmo deve ser positivo:
\frac{18-x}{x+6}>0.

Passo 3

Resolvendo a desigualdade
\frac{18-x}{x+6}>0,
temos que numerador e denominador devem ter mesmo sinal.
  • Caso 1 (ambos positivos):
18-x>0\implies x<18,
x+6>0\implies x>-6,
resultando em -6<x<18.
  • Caso 2 (ambos negativos):
18-x<0\implies x>18,
x+6<0\implies x<-6,
não há solução simultânea.
Portanto a desigualdade vale se e somente se
-6<x<18.

Passo 4

Combinando as duas restrições ( x\neq6 e -6<x<18), obtemos o domínio de f:
\Dom(f)=(-6,6)\cup(6,18).

Passo 5

Para a composição definimos
(g\circ h)(x)=g\bigl(h(x)\bigr) =\frac{1+h(x)}{1-h(x)} =\frac{1+\frac{x}{1-x}}{1-\frac{x}{1-x}}.

Passo 6

Simplificando a fração:
1+\frac{x}{1-x}=\frac{1-x+x}{1-x}=\frac{1}{1-x},
1-\frac{x}{1-x}=\frac{1-x-x}{1-x}=\frac{1-2x}{1-x},
logo
(g\circ h)(x) =\frac{\frac{1}{1-x}}{\frac{1-2x}{1-x}} =\frac{1}{1-2x}.

Passo 7

O domínio de g\circ h exige que:
  1. h(x) esteja no domínio de g. Como \Dom(g) é 1-x\neq0 e g não admite argumento igual a 1, impomos
1-x\neq0\implies x\neq1,
h(x)\neq1\implies \frac{x}{1-x}\neq1\implies x\neq\frac12.
  1. Na forma simplificada \frac{1}{1-2x}, exige-se 1-2x\neq0, isto é x\neq\frac12, que já está considerado.

Passo 8

Combinando as condições x\neq1 e x\neq\tfrac12, obtemos
\Dom(g\circ h)=\mathbb{R}\setminus\Bigl\{\tfrac12,\,1\Bigr\}.

Resposta

(a) \Dom(f)=(-6,6)\cup(6,18).
(b) (g\circ h)(x)=\displaystyle\frac{1}{1-2x}, \Dom(g\circ h)=\mathbb{R}\setminus\{\tfrac12,1\}.

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