(3,5 pontos) Considere as funçōes
e
definidas, respectivamente por
Entāo,
a) ( 2,0 pontos) Determinar o domínio da função
.
b) ( 1.5 pontos) Calcular a funçāo
com seu respectivo domínio.
a) ( 2,0 pontos) Determinar o domínio da função
b) ( 1.5 pontos) Calcular a funçāo
Passo 1
O enunciado fornece as funções
Pede-se (a) o domínio de
(envolve racional e logaritmo) e (b) a composição
com seu domínio.
Passo 2
Para achar o domínio de
, identificamos duas restrições:
- O denominador
não pode ser zero, logo
- O argumento do logaritmo deve ser positivo:
Passo 3
Resolvendo a desigualdade
temos que numerador e denominador devem ter mesmo sinal.
- Caso 1 (ambos positivos):
resultando em
.
- Caso 2 (ambos negativos):
não há solução simultânea.
Portanto a desigualdade vale se e somente se
Passo 4
Combinando as duas restrições (
e
), obtemos o domínio de
:
Passo 5
Para a composição definimos
Passo 6
Simplificando a fração:
logo
Passo 7
O domínio de
exige que:
-
esteja no domínio de . Como é e não admite argumento igual a , impomos
- Na forma simplificada
, exige-se , isto é , que já está considerado.
Passo 8
Combinando as condições
e
, obtemos
Resposta
(a)
.
(b) ,
.
(b)