Resolver as seguintes integrais impróprias:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
.
Informações dadas: o integrando é e o intervalo de integração é
. A pergunta é se a integral converge e, se convergir, qual é o seu valor numérico.
Informações dadas: o integrando é
Passo 2
Primeiro, lembro qual é a definição de integral imprópria sobre um intervalo infinito: para uma função
contínua em
,
Ou seja, a gente calcula a integral definida até um ponto
e depois faz o limite quando
vai para infinito. Se esse limite existir (finito), a integral imprópria converge.
Passo 3
É útil escrever a base exponencial em termos da função exponencial natural. Uso a identidade
. Assim,
Aqui
é um número negativo porque
.
Passo 4
Agora precisamos de uma primitiva (antiderivada) de
. A fórmula básica é
portanto
para
. No nosso caso
, logo uma primitiva de
é
Posso checar derivando: ao derivar aparece o fator
que cancela, retornando
.
Passo 5
Aplicando a definição de integral imprópria:
Passo 6
Avalio a diferença entre as extremidades:
Quando
e a base
, temos
. Esse fato vem da propriedade das potências:
quando
e
.
Passo 7
Substituindo o limite:
Agora uso
. Então
Passo 8
Conclusão: a integral imprópria converge (porque a função é positiva e decai exponencialmente) e seu valor é
. Se você preferir visualizar: a área sob uma curva que decai como
a partir de
até infinito é finita e igual a esse número; pequeno detalhe reconfortante quando a base é menor que 1!