Resolver as seguintes integrais impróprias:
\int_{1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\displaystyle \int_{1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{x} dx.
Informações dadas: o integrando é \left(\tfrac{1}{3}\right)^{x} e o intervalo de integração é [1,\infty). A pergunta é se a integral converge e, se convergir, qual é o seu valor numérico.

Passo 2

Primeiro, lembro qual é a definição de integral imprópria sobre um intervalo infinito: para uma função f contínua em [1,\infty),
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{b\to\infty} \int_{1}^{b} f(x)\,dx.
Ou seja, a gente calcula a integral definida até um ponto b e depois faz o limite quando b vai para infinito. Se esse limite existir (finito), a integral imprópria converge.

Passo 3

É útil escrever a base exponencial em termos da função exponencial natural. Uso a identidade \,a^{x}=e^{x\ln a}\,. Assim,
\left(\frac{1}{3}\right)^{x} = e^{x\ln\!\left(\tfrac{1}{3}\right)}.
Aqui \ln\!\left(\tfrac{1}{3}\right) é um número negativo porque \tfrac{1}{3}<1.

Passo 4

Agora precisamos de uma primitiva (antiderivada) de e^{k x}. A fórmula básica é
\frac{d}{dx}\bigl(e^{k x}\bigr)=k e^{k x},
portanto
\int e^{k x}\,dx = \frac{1}{k} e^{k x} + C,
para k\neq 0. No nosso caso k=\ln\!\left(\tfrac{1}{3}\right), logo uma primitiva de \left(\tfrac{1}{3}\right)^{x} é
\int \left(\frac{1}{3}\right)^{x} dx = \frac{1}{\ln\!\left(\tfrac{1}{3}\right)}\left(\frac{1}{3}\right)^{x} + C.
Posso checar derivando: ao derivar aparece o fator \ln\!\left(\tfrac{1}{3}\right) que cancela, retornando \left(\tfrac{1}{3}\right)^{x}.

Passo 5

Aplicando a definição de integral imprópria:
\int_{1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{x} dx = \lim_{b\to\infty} \int_{1}^{b}\left(\frac{1}{3}\right)^{x} dx = \lim_{b\to\infty}\left[\frac{1}{\ln\!\left(\tfrac{1}{3}\right)}\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\right]_{x=1}^{x=b}.

Passo 6

Avalio a diferença entre as extremidades:
\left[\frac{1}{\ln\!\left(\tfrac{1}{3}\right)}\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\right]_{1}^{b} = \frac{1}{\ln\!\left(\tfrac{1}{3}\right)}\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{b}-\left(\frac{1}{3}\right)^{1}\right).
Quando b\to\infty e a base 0<\tfrac{1}{3}<1, temos \left(\tfrac{1}{3}\right)^{b}\to 0. Esse fato vem da propriedade das potências: a^{b}\to 0 quando 0<a<1 e b\to\infty.

Passo 7

Substituindo o limite:
\int_{1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{x} dx = \frac{1}{\ln\!\left(\tfrac{1}{3}\right)}\left(0 - \frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\ln\!\left(\tfrac{1}{3}\right)}.
Agora uso \ln\!\left(\tfrac{1}{3}\right)= -\ln 3. Então
-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\ln\!\left(\tfrac{1}{3}\right)} = -\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{-\ln 3} = \frac{1}{3\ln 3}.

Passo 8

Conclusão: a integral imprópria converge (porque a função é positiva e decai exponencialmente) e seu valor é \displaystyle \frac{1}{3\ln 3}. Se você preferir visualizar: a área sob uma curva que decai como \left(\tfrac{1}{3}\right)^{x} a partir de x=1 até infinito é finita e igual a esse número; pequeno detalhe reconfortante quando a base é menor que 1!

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3\ln 3}

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