Resolver as seguintes integrais impróprias:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
Informações dadas:
- A função integranda é
. - O intervalo de integração é
, ou seja, a integral é imprópria devido ao limite inferior ser . - A tarefa é determinar o valor numérico da integral.
Passo 2
Definição de integral imprópria que vamos usar: transformar o limite infinito em um limite finito. Escrevemos
Isto significa que primeiro calculamos a integral definida
e depois tomamos
.
Passo 3
Vamos encontrar uma primitiva (antiderivada) da função para poder avaliar a integral definida. Note que a substituição
é natural porque a derivada de
envolve
. Calculamos
:
Aplicando a substituição na integral de
até
:
quando temos
; quando
temos
. Assim
quando
Passo 4
Calculamos a primitiva de
. Sabendo que
para
, temos
Multiplicando pelo fator
que apareceu na substituição, a primitiva da integranda original é
Voltando à variável
(pois
), uma antiderivada é
Passo 5
Avaliação da integral definida com a primitiva e passagem ao limite impróprio:
Isto é
Agora tomamos o limite
. Como
, temos
. Logo
Passo 6
Breve comentário didático e checagem: a substituição
funcionou porque o numerador contém exatamente
, que se transforma em
. A primitiva obtida é simples e bem comportada no infinito, o que permite avaliar o limite sem problemas. O sinal negativo aparece porque a primitiva em
é negativa e a contribuição do infinito se anula.