Resolver as seguintes integrais impróprias:
\int_{-\infty}^{0} \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{0} \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é \displaystyle f(x)=\frac{x}{(x^{2}+1)^{3}}.
  • O intervalo de integração é (-\infty,0], ou seja, a integral é imprópria devido ao limite inferior ser -\infty.
  • A tarefa é determinar o valor numérico da integral.

Passo 2

Definição de integral imprópria que vamos usar: transformar o limite infinito em um limite finito. Escrevemos
\int_{-\infty}^{0} \frac{x}{(x^{2}+1)^{3}}\,dx = \lim_{A\to -\infty} \int_{A}^{0} \frac{x}{(x^{2}+1)^{3}}\,dx.
Isto significa que primeiro calculamos a integral definida \int_{A}^{0} e depois tomamos A\to -\infty.

Passo 3

Vamos encontrar uma primitiva (antiderivada) da função para poder avaliar a integral definida. Note que a substituição
u = x^{2}+1
é natural porque a derivada de x^{2}+1 envolve x. Calculamos du:
du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Aplicando a substituição na integral de A até 0:
quando x=A temos u=A^{2}+1; quando x=0 temos u=1. Assim
\int_{A}^{0} \frac{x}{(x^{2}+1)^{3}}\,dx = \int_{u=A^{2}+1}^{u=1} \frac{1}{2}\,u^{-3}\,du = \frac{1}{2}\int_{A^{2}+1}^{1} u^{-3}\,du.

Passo 4

Calculamos a primitiva de u^{-3}. Sabendo que \int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C para n\neq-1, temos
\int u^{-3}\,du = \frac{u^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2}u^{-2}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} que apareceu na substituição, a primitiva da integranda original é
\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}u^{-2}\right) = -\frac{1}{4}u^{-2}.
Voltando à variável x (pois u=x^{2}+1), uma antiderivada é
F(x) = -\frac{1}{4}\,(x^{2}+1)^{-2}.

Passo 5

Avaliação da integral definida com a primitiva e passagem ao limite impróprio:
\int_{A}^{0} \frac{x}{(x^{2}+1)^{3}}\,dx = F(0)-F(A) = -\frac{1}{4}(0^{2}+1)^{-2} - \left(-\frac{1}{4}(A^{2}+1)^{-2}\right).
Isto é
\int_{A}^{0} \frac{x}{(x^{2}+1)^{3}}\,dx = -\frac{1}{4} + \frac{1}{4}(A^{2}+1)^{-2}.
Agora tomamos o limite A\to -\infty. Como A^{2}\to\infty, temos (A^{2}+1)^{-2}\to 0. Logo
\lim_{A\to -\infty}\int_{A}^{0} \frac{x}{(x^{2}+1)^{3}}\,dx = -\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cdot 0 = -\frac{1}{4}.

Passo 6

Breve comentário didático e checagem: a substituição u=x^{2}+1 funcionou porque o numerador contém exatamente x\,dx, que se transforma em du/2. A primitiva obtida é simples e bem comportada no infinito, o que permite avaliar o limite sem problemas. O sinal negativo aparece porque a primitiva em 0 é negativa e a contribuição do infinito se anula.

Resposta

-\dfrac{1}{4}

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