Resolver as seguintes integrais impróprias:
\int_{1}^{\infty} \frac{d x}{\sqrt{x}+x \sqrt{x}}\'

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{d x}{\sqrt{x}+x\sqrt{x}}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • O intervalo de integração é [1,\infty), logo a integral é imprópria por ter limite superior infinito.
  • O integrando é \dfrac{1}{\sqrt{x}+x\sqrt{x}}.
  • Precisamos avaliar se a integral converge e, se convergir, calcular o seu valor numérico.

Passo 2

Vamos simplificar o integrando algebraicamente para ver uma forma mais manejável. Escrevendo \sqrt{x}=x^{1/2} e x\sqrt{x}=x\cdot x^{1/2}=x^{3/2}, temos
\frac{1}{\sqrt{x}+x\sqrt{x}}=\frac{1}{x^{1/2}+x^{3/2}}.
Fatorando x^{1/2} no denominador:
\frac{1}{x^{1/2}+x^{3/2}}=\frac{1}{x^{1/2}(1+x)}= \frac{x^{-1/2}}{1+x}.
Essa forma \dfrac{x^{-1/2}}{1+x} já dá uma boa pista: o termo x^{-1/2} fica “combinado” com dx sob uma substituição conveniente.

Passo 3

Escolhemos a substituição que simplifica as potências fracionárias: seja t=\sqrt{x}. Isso é o mesmo que tomar x=t^{2}. Agora calculamos o diferencial:
x=t^{2}\quad\Rightarrow\quad dx=2t\,dt.
Os limites também mudam: quando x=1 temos t=1; quando x\to\infty temos t\to\infty. Portanto a integral em x será transformada numa integral em t com limites de 1 a \infty.

Passo 4

Substituímos x=t^{2} na expressão simplificada do integrando \dfrac{x^{-1/2}}{1+x} e multiplicamos por dx=2t\,dt:
  • Primeiro, x^{-1/2}=(t^{2})^{-1/2}=t^{-1}.
  • Então o integrando vezes dx fica
\frac{x^{-1/2}}{1+x}\,dx=\frac{t^{-1}}{1+t^{2}}\cdot 2t\,dt.
Simplificando t^{-1}\cdot 2t = 2, obtemos
\frac{x^{-1/2}}{1+x}\,dx = \frac{2}{1+t^{2}}\,dt.
Logo a integral transforma-se exatamente em
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}+x\sqrt{x}}\,dx = \int_{1}^{\infty}\frac{2}{1+t^{2}}\,dt.

Passo 5

Reconhecemos a primitiva padrão: para qualquer variável u vale
\frac{d}{du}\big(\arctan u\big)=\frac{1}{1+u^{2}}.
Portanto uma primitiva de \dfrac{2}{1+t^{2}} é 2\arctan t. Então avaliamos a integral impropria:
\int_{1}^{\infty}\frac{2}{1+t^{2}}\,dt = \lim_{B\to\infty}\left[2\arctan t\right]_{t=1}^{t=B} = \lim_{B\to\infty} \big(2\arctan B - 2\arctan 1\big).

Passo 6

Sabemos que \displaystyle\lim_{B\to\infty}\arctan B=\frac{\pi}{2} e \arctan 1=\frac{\pi}{4}. Substituindo:
2\arctan B - 2\arctan 1 \xrightarrow[B\to\infty]{} 2\cdot\frac{\pi}{2} - 2\cdot\frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}.
Portanto a integral converge e o seu valor é \dfrac{\pi}{2}.

Passo 7

Comentário extra (para entender a convergência): para grandes x o integrando original se comporta como
\frac{1}{\sqrt{x}+x\sqrt{x}}\sim \frac{1}{x^{3/2}},
pois o termo x^{3/2} domina o denominador. Como \displaystyle\int^{\infty} x^{-3/2}\,dx converge (é um caso p-integral com p=3/2>1), isso reforça que a integral dada converge. A transformação que fizemos dá o cálculo exato do valor.

Resposta

\dfrac{\pi}{2}

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