Resolver as seguintes integrais impróprias: \int_{1}^{\infty} \frac{d x}{\sqrt{x}+x \sqrt{x}}\'
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{d x}{\sqrt{x}+x\sqrt{x}}.
Informações dadas e o que é pedido:
O intervalo de integração é [1,\infty), logo a integral é imprópria por ter limite superior infinito.
O integrando é \dfrac{1}{\sqrt{x}+x\sqrt{x}}.
Precisamos avaliar se a integral converge e, se convergir, calcular o seu valor numérico.
Passo 2
Vamos simplificar o integrando algebraicamente para ver uma forma mais manejável. Escrevendo \sqrt{x}=x^{1/2} e x\sqrt{x}=x\cdot x^{1/2}=x^{3/2}, temos
Essa forma \dfrac{x^{-1/2}}{1+x} já dá uma boa pista: o termo x^{-1/2} fica “combinado” com dx sob uma substituição conveniente.
Passo 3
Escolhemos a substituição que simplifica as potências fracionárias: seja t=\sqrt{x}. Isso é o mesmo que tomar x=t^{2}. Agora calculamos o diferencial:
x=t^{2}\quad\Rightarrow\quad dx=2t\,dt.
Os limites também mudam: quando x=1 temos t=1; quando x\to\infty temos t\to\infty. Portanto a integral em x será transformada numa integral em t com limites de 1 a \infty.
Passo 4
Substituímos x=t^{2} na expressão simplificada do integrando \dfrac{x^{-1/2}}{1+x} e multiplicamos por dx=2t\,dt:
pois o termo x^{3/2} domina o denominador. Como \displaystyle\int^{\infty} x^{-3/2}\,dx converge (é um caso p-integral com p=3/2>1), isso reforça que a integral dada converge. A transformação que fizemos dá o cálculo exato do valor.