Resolver as seguintes integrais impróprias:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes dadas:
Observação importante extraída do enunciado: o denominador
anula-se em
, que é o limite esquerdo do intervalo. Isso significa que a integral é imprópria devido a uma singularidade em
.
Passo 2
O procedimento padrão para uma integral imprópria com singularidade no limite de integração é definir a integral como um limite lateral. Ou seja, definimos
e investigamos se esse limite existe (finito). Se o limite for finito, a integral converge; se for infinito ou não existir, a integral diverge. Vamos seguir esse caminho: primeiro achamos uma primitiva (antiderivada) válida em
e depois tomamos o limite.
Passo 3
Primeiro simplificamos o integrando por decomposição algébrica para facilitar a integração:
Esse passo é só álgebra: escrevemos
e separamos a fração. Agora a integral fica mais simples porque conhecemos primitivas de
e de
.
Passo 4
Calculamos a primitiva
de
em qualquer intervalo onde
:
- A primitiva de
é , porque a derivada de é . - A primitiva de
pode ser obtida lembrando que a derivada de é . Logo a primitiva é .
Somando as duas primitivas obtemos
válida para
. Vamos usar essa
para avaliar a integral imprópria por limites.
Passo 5
Escrevemos a integral imprópria pelo limite:
Calculemos
e
:
Portanto
Passo 6
Agora estudamos o comportamento do termo
quando
. Seja
. Então
e analisamos
O termo
tende a
quando
. O termo
tende a
, mas cresce (em módulo) muito mais devagar que
. Podemos justificar isso observando que
o que implica
isto é,
é negligível frente a
quando
. Assim
Portanto
quando
.
Passo 7
Voltando à expressão da integral:
Como
, a diferença
tende a
. Logo o limite não é um número finito: a integral diverge, de forma que o valor da integral é
. Em palavras mais simples: próximo de
temos
, e como
diverge, a integral original também diverge (aqui o sinal negativo faz com que o integral tenda a
).
Resposta
Diverge, mais precisamente
.