Resolver as seguintes integrais impróprias:
\int_{-1}^{2} \frac{x}{(x+1)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-1}^{2} \frac{x}{(x+1)^{2}}\,dx.
Informações relevantes dadas:
\text{integrando: }\frac{x}{(x+1)^{2}},\qquad \text{intervalo de integração: }[-1,2].çã
Observação importante extraída do enunciado: o denominador (x+1)^{2} anula-se em x=-1, que é o limite esquerdo do intervalo. Isso significa que a integral é imprópria devido a uma singularidade em x=-1.

Passo 2

O procedimento padrão para uma integral imprópria com singularidade no limite de integração é definir a integral como um limite lateral. Ou seja, definimos
\int_{-1}^{2} \frac{x}{(x+1)^{2}}\,dx \stackrel{?}{=} \lim_{a\to(-1)^{+}} \int_{a}^{2} \frac{x}{(x+1)^{2}}\,dx,
e investigamos se esse limite existe (finito). Se o limite for finito, a integral converge; se for infinito ou não existir, a integral diverge. Vamos seguir esse caminho: primeiro achamos uma primitiva (antiderivada) válida em (-1,2] e depois tomamos o limite.

Passo 3

Primeiro simplificamos o integrando por decomposição algébrica para facilitar a integração:
\frac{x}{(x+1)^{2}}=\frac{x+1-1}{(x+1)^{2}}=\frac{x+1}{(x+1)^{2}}-\frac{1}{(x+1)^{2}}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^{2}}.
Esse passo é só álgebra: escrevemos x=(x+1)-1 e separamos a fração. Agora a integral fica mais simples porque conhecemos primitivas de \frac{1}{x+1} e de \frac{1}{(x+1)^{2}}.

Passo 4

Calculamos a primitiva F(x) de \frac{x}{(x+1)^{2}} em qualquer intervalo onde x+1\neq0:
\int\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^{2}}\right)\,dx.
  • A primitiva de \frac{1}{x+1} é \ln|x+1|, porque a derivada de \ln|x+1| é \dfrac{1}{x+1}.
  • A primitiva de -\dfrac{1}{(x+1)^{2}} pode ser obtida lembrando que a derivada de \dfrac{1}{x+1} é -\dfrac{1}{(x+1)^{2}}. Logo a primitiva é \dfrac{1}{x+1}.
Somando as duas primitivas obtemos
F(x)=\ln|x+1|+\frac{1}{x+1}+C,
válida para x\neq -1. Vamos usar essa F para avaliar a integral imprópria por limites.

Passo 5

Escrevemos a integral imprópria pelo limite:
\int_{-1}^{2} \frac{x}{(x+1)^{2}}\,dx=\lim_{a\to(-1)^{+}} \int_{a}^{2} \frac{x}{(x+1)^{2}}\,dx=\lim_{a\to(-1)^{+}} \bigl(F(2)-F(a)\bigr).
Calculemos F(2) e F(a):
F(2)=\ln|2+1|+\frac{1}{2+1}=\ln 3+\frac{1}{3},
F(a)=\ln|a+1|+\frac{1}{a+1}.
Portanto
\int_{-1}^{2} \frac{x}{(x+1)^{2}}\,dx=\lim_{a\to(-1)^{+}}\left(\ln 3+\frac{1}{3}-\ln|a+1|-\frac{1}{a+1}\right).

Passo 6

Agora estudamos o comportamento do termo \ln|a+1|+\dfrac{1}{a+1} quando a\to(-1)^{+}. Seja t=a+1. Então t\to 0^{+} e analisamos
\ln t+\frac{1}{t}.
O termo \dfrac{1}{t} tende a +\infty quando t\to0^{+}. O termo \ln t tende a -\infty, mas cresce (em módulo) muito mais devagar que \dfrac{1}{t}. Podemos justificar isso observando que
\lim_{t\to0^{+}} t\ln t = 0,
o que implica
\lim_{t\to0^{+}} \frac{\ln t}{1/t}=0,
isto é, \ln t é negligível frente a 1/t quando t\to0^{+}. Assim
\ln t+\frac{1}{t}\sim \frac{1}{t}\to +\infty\quad\text{quando }t\to0^{+}.
Portanto F(a)=\ln|a+1|+\dfrac{1}{a+1}\to +\infty quando a\to(-1)^{+}.

Passo 7

Voltando à expressão da integral:
\int_{-1}^{2} \frac{x}{(x+1)^{2}}\,dx=\lim_{a\to(-1)^{+}}\left(\ln 3+\frac{1}{3}-F(a)\right).
Como F(a)\to +\infty, a diferença \ln 3+\dfrac{1}{3}-F(a) tende a -\infty. Logo o limite não é um número finito: a integral diverge, de forma que o valor da integral é -\infty. Em palavras mais simples: próximo de x=-1 temos \dfrac{x}{(x+1)^{2}}\approx -\dfrac{1}{(x+1)^{2}}, e como \displaystyle\int_{0}^{\epsilon}\frac{1}{t^{2}}\,dt diverge, a integral original também diverge (aqui o sinal negativo faz com que o integral tenda a -\infty).

Resposta

Diverge, mais precisamente -\infty.

Exercícios relacionados