Decompor as seguintes expressões como somas de frações parciais:
\frac{x^{2}+4 x+10}{(x+1) \cdot\left(x^{2}+2 x+8\right)}

Passo 1

O enunciado pede a decomposição de \displaystyle \frac{x^{2}+4x+10}{(x+1)\,(x^{2}+2x+8)}
em frações parciais. O conteúdo é decomposição de frações racionais em frações parciais, e vamos precisar considerar os fatores linear (x+1) e quadrático irreduzível (x^{2}+2x+8).

Passo 2

Assumimos a forma
\frac{x^{2}+4x+10}{(x+1)\,(x^{2}+2x+8)} =\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+2x+8}.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x+1)(x^{2}+2x+8) para obter a identidade polinomial
x^{2}+4x+10 = A\,(x^{2}+2x+8)+(Bx+C)\,(x+1).

Passo 4

Expandindo o lado direito e agrupando termos semelhantes:
A\,x^{2}+2A\,x+8A \;+\; B\,x^{2}+B\,x+C\,x+C = (A+B)\,x^{2}+(2A+B+C)\,x+(8A+C).
Comparando com x^{2}+4x+10, obtemos o sistema
\begin{cases} A+B=1,\\\\ 2A+B+C=4,\\\\ 8A+C=10. \end{cases}

Passo 5

Da primeira equação B=1-A. Substituindo na segunda:
2A+(1-A)+C=4\implies A+1+C=4\implies C=3-A.
Na terceira:
8A+C=10\implies 8A+(3-A)=10\implies 7A=7\implies A=1.
Logo B=1-1=0 e C=3-1=2.

Resposta

\frac{x^{2}+4x+10}{(x+1)(x^{2}+2x+8)} =\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x^{2}+2x+8}.

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