Resolver as seguintes integrais:
\int \operatorname{sen}(\omega t+\theta) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}(\omega t + \theta)\,dt.
O conteúdo é integração de função composta, e vamos usar a substituição u-substituição.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = \omega t + \theta.
Então
du = \omega\,dt \quad\Longrightarrow\quad dt = \frac{du}{\omega}.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, obtemos
\int \operatorname{sen}(\omega t + \theta)\,dt = \int \operatorname{sen}(u)\,\frac{du}{\omega} = \frac{1}{\omega}\int \operatorname{sen}(u)\,du.

Passo 4

Sabemos que
\int \operatorname{sen}(u)\,du = -\cos(u) + C.
Logo,
\frac{1}{\omega}\int \operatorname{sen}(u)\,du = \frac{1}{\omega}\bigl(-\cos(u)\bigr) + C = -\frac{1}{\omega}\cos(u) + C.

Passo 5

Voltando à variável original t, substituímos u = \omega t + \theta:
-\frac{1}{\omega}\cos(u) + C = -\frac{1}{\omega}\cos\bigl(\omega t + \theta\bigr) + C.

Resposta

\int \operatorname{sen}(\omega t + \theta)\,dt = -\frac{1}{\omega}\cos\bigl(\omega t + \theta\bigr) + C.

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