Resolver as seguintes integrais:
\int \cos x \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{sen} x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \cos x \,\tan\bigl(\sin x\bigr)\,dx.
Aqui vamos usar o método de substituição, pois vemos que \cos x\,dx é derivada de \sin x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \sin x,
então
du = \cos x\,dx.
A integral fica
\int \cos x\,\tan\bigl(\sin x\bigr)\,dx = \int \tan(u)\,du.

Passo 3

Recordamos que
\tan(u) = \frac{\sin u}{\cos u},
logo
\int \tan(u)\,du = \int \frac{\sin u}{\cos u}\,du = -\ln\bigl|\cos u\bigr| + C.

Passo 4

Voltando à variável x, temos u=\sin x. Assim, uma primitiva da integral original é
-\ln\bigl|\cos(\sin x)\bigr| + C.

Resposta

-\ln\bigl|\cos(\sin x)\bigr| + C.

Exercícios relacionados