Resolver as seguintes integrais:
\int 2 x \operatorname{sen}^{4}\left(x^{2}-1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int 2x\,\sin^{4}\bigl(x^{2}-1\bigr)\,dx.
O conteúdo principal é usar substituição para simplificar a parte 2x\,dx e depois integrar uma potência de seno usando identidades trigonométricas.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2}-1,
de onde
du = 2x\,dx.
Assim a integral passa a ser
\int 2x\,\sin^{4}\bigl(x^{2}-1\bigr)\,dx \;=\;\int \sin^{4}(u)\,du.

Passo 3

Para integrar \sin^{4}(u), usamos a identidade de redução de potência
\sin^{2}(u) = \frac{1-\cos(2u)}{2},
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\sin^{4}(u) = \bigl(\sin^{2}(u)\bigr)^{2} = \frac{\bigl(1-\cos(2u)\bigr)^{2}}{4}.

Passo 4

Expandindo e usando \cos^{2}(2u)=\tfrac{1+\cos(4u)}{2}, obtemos
\sin^{4}(u) = \frac{1 - 2\cos(2u) + \cos^{2}(2u)}{4} = \frac{1 - 2\cos(2u) + \tfrac{1+\cos(4u)}{2}}{4} = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos(2u) + \frac{1}{8}\cos(4u).

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
\int \sin^{4}(u)\,du = \int \Bigl(\tfrac{3}{8} - \tfrac{1}{2}\cos(2u) + \tfrac{1}{8}\cos(4u)\Bigr)du = \frac{3}{8}u - \frac{1}{2}\cdot\frac{\sin(2u)}{2} + \frac{1}{8}\cdot\frac{\sin(4u)}{4} + C
= \frac{3u}{8} - \frac{\sin(2u)}{4} + \frac{\sin(4u)}{32} + C.

Resposta

Substituindo u = x^{2}-1 de volta, a solução é
\boxed{ \int 2x\,\sin^{4}\bigl(x^{2}-1\bigr)\,dx = \frac{3\bigl(x^{2}-1\bigr)}{8} - \frac{\sin\bigl(2(x^{2}-1)\bigr)}{4} + \frac{\sin\bigl(4(x^{2}-1)\bigr)}{32} + C. }

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