Resolver as seguintes integrais:
\int e^{2 x} \cdot \cos ^{2}\left(e^{2 x}-1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int e^{2x}\,\cos^{2}\bigl(e^{2x}-1\bigr)\,dx.
O conteúdo que vamos usar é mudança de variável (substituição) e a identidade trigonométrica para \cos^{2}t.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = e^{2x}-1.
Então
dt = 2e^{2x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad e^{2x}\,dx = \tfrac{1}{2}\,dt.
A integral original fica
\int e^{2x}\,\cos^{2}\bigl(e^{2x}-1\bigr)\,dx = \int \cos^{2}(t)\,\frac{dt}{2} = \frac{1}{2}\,\int \cos^{2}(t)\,dt.

Passo 3

Aplicamos a identidade
\cos^{2}(t) = \frac{1 + \cos(2t)}{2}.
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\frac{1}{2}\,\int \cos^{2}(t)\,dt = \frac{1}{2}\,\int \frac{1 + \cos(2t)}{2}\,dt = \frac{1}{4}\,\int \bigl(1 + \cos(2t)\bigr)\,dt.
Integramos termo a termo:
\int 1\,dt = t, \qquad \int \cos(2t)\,dt = \frac{1}{2}\,\sin(2t).
Portanto
\frac{1}{4}\,\int \bigl(1 + \cos(2t)\bigr)\,dt = \frac{1}{4}\,\Bigl(t + \frac{1}{2}\sin(2t)\Bigr) + C = \frac{t}{4} + \frac{\sin(2t)}{8} + C.

Passo 4

Voltando à variável x, lembrando que t = e^{2x}-1, temos
\frac{t}{4} + \frac{\sin(2t)}{8} + C = \frac{e^{2x}-1}{4} + \frac{1}{8}\,\sin\bigl(2\,(e^{2x}-1)\bigr) + C.

Resposta

\boxed{ \int e^{2x}\,\cos^{2}\bigl(e^{2x}-1\bigr)\,dx = \frac{e^{2x}-1}{4} + \frac{1}{8}\,\sin\bigl(2e^{2x}-2\bigr) + C. }

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