Resolver as seguintes integrais
integral x arctg^2(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x;arctan^2(x),dx
O conteúdo principal aqui é integração por partes, pois temos um produto de x com uma função composta arctan^2(x). Também vamos usar a identidade
x^21+x^2=1-11+x^2
e mais adiante as integrais conhecidas de arctan(x).

Passo 2

Aplicamos integração por partes escolhendo
u=arctan^2(x), dv=x,dx
Então
du = 2,arctan(x),11+x^2,dx, v = integral x,dx = x^22
Pela fórmula integral u,dv = uv - integral v,du,
integral x,arctan^2(x),dx = x^22,arctan^2(x) - integral x^22,2,arctan(x)1+x^2,dx = x^22,arctan^2(x) - integral x^2,arctan(x)1+x^2,dx

Passo 3

No integral restante fazemos a divisão
x^21+x^2 = 1 - 11+x^2,
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integral x^2,arctan(x)1+x^2,dx = integral arctan(x),dx - integral arctan(x)1+x^2,dx
Assim nossa integral fica
integral x,arctan^2(x),dx = x^22,arctan^2(x) - integral arctan(x),dx + integral arctan(x)1+x^2,dx

Passo 4

Calculamos separadamente
  1. integral arctan(x),dx: use partes com a=arctan(x), db=dx, então da=tfracdx1+x^2, b=x, obtendo
integral arctan(x),dx = x,arctan(x) - integral x1+x^2,dx = x,arctan(x) - tfrac12lnl(1+x^2r)
  1. integral arctan(x)1+x^2,dx: faça t=arctan(x), dt=tfracdx1+x^2, daí
integral arctan(x)1+x^2,dx = integral t,dt = t^22 = 12,arctan^2(x)

Passo 5

Substituindo esses resultados em
integral x,arctan^2(x),dx = x^22,arctan^2(x) - l[x,arctan(x) - tfrac12ln(1+x^2)r] + 12,arctan^2(x) + C,
temos
integral x,arctan^2(x),dx = x^22,arctan^2(x) - x,arctan(x) + 12lnl(1+x^2r) + 12,arctan^2(x) + C
Agrupando arctan^2(x):
integral x,arctan^2(x),dx = 1+x^22,arctan^2(x) - x,arctan(x) + 12lnl(1+x^2r) + C

Resposta

boxed integral x,arctan^2(x),dx = 1+x^22,arctan^2(x) - x,arctan(x) + 12lnl(1+x^2r) + C

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