Resolver as seguintes integrais
integral 3^x cos (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 3^xcos(x),dx
Esse tipo de integral envolve uma exponencial multiplicada por cosseno, e a estratégia é usar a conversão
;3^x=e^xln 3;
e depois aplicar integração por partes duas vezes, chegando à fórmula geral
integral e^axcos(bx),dx=e^axa^2+b^2l(acos(bx)+bsin(bx)r)+C.

Passo 2

Primeiro escrevemos a integral em termos de e:
integral 3^xcos(x),dx =integral e^xln 3cos(x),dx
Para simplificar a notação, vamos chamar
a=ln 3, b=1,
e definir
I=integral e^axcos(bx),dx, J=integral e^axsin(bx),dx

Passo 3

Aplicamos integração por partes em I, tomando
;u=e^ax,;dv=cos(bx),dx;.
Então
;du=a,e^ax,dx,;v=sin(bx)b;,
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I =integral e^axcos(bx),dx =e^ax,sin(bx)b -integral a,e^axsin(bx)b,dx =e^axsin(bx)b-ab,J

Passo 4

Agora aplicamos partes em J, tomando
;u=e^ax,;dv=sin(bx),dx;.
Então
;du=a,e^ax,dx,;v=-cos(bx)b;,
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J =integral e^axsin(bx),dx =-e^ax,cos(bx)b +integral a,e^axcos(bx)b,dx =-e^axcos(bx)b+ab,I

Passo 5

Substituímos a expressão de J em I:
I =e^axsin(bx)b-abl(-e^axcos(bx)b+abIr) =e^axsin(bx)b+a,e^axcos(bx)b^2-a^2b^2I
Reorganizando termos em I:
Il(1+a^2b^2r) =e^axl(sin(bx)b+acos(bx)b^2r) ;Longrightarrow; I =e^axa^2+b^2l(acos(bx)+bsin(bx)r)

Passo 6

Voltando aos valores originais a=ln 3 e b=1, temos
integral 3^xcos(x),dx =integral e^xln 3cos(x),dx =e^xln 3(ln 3)^2+1l(ln 3cos(x)+sin(x)r)+C
E, como e^xln3=3^x, escrevemos finalmente

Resposta

boxed integral 3^xcos(x),dx =3^x(ln 3)^2+1l(ln 3cos(x)+sin(x)r)+C

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