Resolver as seguintes integrais [realizar todos os passos para a solução]:
integral0^1(x arctg x) d x

Passo 1

A integral que queremos é integral0^1 x,arctgx,dx. O conteúdo principal aqui é a técnica de integração por partes, que diz que integral u,dv = u,v - integral v,du.

Passo 2

Escolhemos u = arctgx e dv = x,dx, porque a derivada de arctgx é simples e integrar x dá algo direto. Então
du = 11+x^2,dx, v = x^22

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
integral x,arctgx,dx = x^22,arctgx - integral x^22cdot 11+x^2,dx = x^22,arctgx - 12integral x^21+x^2,dx

Passo 4

Agora precisamos calcular integral x^21+x^2,dx. Note que
x^21+x^2 = 1 - 11+x^2,logo
integral x^21+x^2,dx = integral 1,dx - integral 11+x^2,dx = x - arctgx + C

Passo 5

Substituindo de volta no resultado por partes, um primitivo geral é
F(x) = x^22,arctgx - 12l(x - arctgxr) + C

Passo 6

Agora avaliamos de 0 a 1:
  • Em x=1:
F(1)=1^22cdotpi4-12(1-tfracpi4)=pi4-12
- Em x=0:
F(0)=0-12(0-0)=0

Passo 7

Portanto,
integral0^1x,arctgx,dx = F(1)-F(0)= pi4-12

Resposta

pi4-tfrac12

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