Resolver as seguintes integrais [realizar todos os passos para a solução]:
integral(sec x)^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de
(sec x)^3 ;dx
Isso envolve técnicas de integração de funções trigonométricas, em especial “integração por partes” e uso de identidades trigonométricas.

Passo 2

Para aplicar integração por partes, observamos que
(sec x)^3 = sec x cdot sec^2 x
Escolhemos
$$
u = \sec x,
\quad dv = \sec^2 x ;dx.
u = sec x, dv = sec^2 x ;dx ã
du = \sec x \tan x ;dx,
\quad v = \int \sec^2 x ;dx = \tan x.
$$

Passo 3

Pela fórmula de partes integral u,dv = u v - integral v,du, temos
integral sec x cdot sec^2 x ;dx = sec x tan x - integral tan x cdot (sec x tan x) ;dx
Note que o integrando restante é
tan x cdot sec x tan x = (tan^2 x) sec x

Passo 4

Usamos a identidade trigonométrica tan^2 x = sec^2 x - 1. Então
integral (tan^2 x) sec x ;dx = integral (sec^2 x - 1) sec x ;dx = integral sec^3 x ;dx - integral sec x ;dx
Chamando I = integral sec^3 x ;dx, a expressão de partes vira
I = sec x tan x - l(I - integral sec x ;dxr)

Passo 5

Isolando I e sabend o resultado clássico
integral sec x ;dx = lnl|sec x + tan xr| + C,
ficamos com
$$
I = \sec x \tan x - I + \ln\bigl|\sec x + \tan x\bigr| + C.
I = sec x tan x - I + lnl|sec x + tan xr| + C
2I = \sec x \tan x + \ln\bigl|\sec x + \tan x\bigr| + C,
2I = sec x tan x + lnl|sec x + tan xr| + C,
I = \frac{\sec x \tan x}{2} + \frac{1}{2} \ln\bigl|\sec x + \tan x\bigr| + C.
$$

Resposta

integral (sec x)^3 ;dx = sec x tan x2 + 12 lnl|sec x + tan xr| + C

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