Resolver as seguintes integrais [realizar todos os passos para a solução]:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de
Isso envolve técnicas de integração de funções trigonométricas, em especial “integração por partes” e uso de identidades trigonométricas.
Passo 2
Para aplicar integração por partes, observamos que
Escolhemos
$$
u = \sec x,
\quad dv = \sec^2 x ;dx.
\quad dv = \sec^2 x ;dx.
du = \sec x \tan x ;dx,
\quad v = \int \sec^2 x ;dx = \tan x.
\quad v = \int \sec^2 x ;dx = \tan x.
$$
Passo 3
Pela fórmula de partes
, temos
Note que o integrando restante é
Passo 4
Usamos a identidade trigonométrica
. Então
Chamando
, a expressão de partes vira
Passo 5
Isolando
e sabend o resultado clássico
ficamos com
$$
I = \sec x \tan x - I + \ln\bigl|\sec x + \tan x\bigr| + C.
2I = \sec x \tan x + \ln\bigl|\sec x + \tan x\bigr| + C,
I = \frac{\sec x \tan x}{2} + \frac{1}{2} \ln\bigl|\sec x + \tan x\bigr| + C.
$$