Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
\int t e^{4 t} dt

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \displaystyle \int t e^{4 t}\, dt.
Informações dadas: a variável de integração é t; não há limites (é uma primitiva/antiderivada); o integrando é o produto de uma função polinomial t e uma exponencial e^{4t}. O objetivo é encontrar uma função F(t) tal que F'(t)=t e^{4t}, mais a constante de integração C.

Passo 2

Apresento a fórmula de integração por partes e a ideia por trás dela (essa é a ferramenta que vamos usar). Parto da regra do produto para derivadas:
\frac{d}{dt}\big(u(t)v(t)\big)=u(t)\,v'(t)+v(t)\,u'(t).
Integrando os dois lados em t obtemos
u(t)v(t)=\int u(t)\,v'(t)\,dt+\int v(t)\,u'(t)\,dt.
Rearranjando,
\int u(t)\,v'(t)\,dt = u(t)v(t)-\int v(t)\,u'(t)\,dt.
Essa é a fórmula de integração por partes escrita como
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui u é uma função cuja derivada du é simples, dv é a parte que sabemos integrar para obter v. Em prova, essa escolha é crucial.

Passo 3

Escolha de u e dv. Uma escolha prática quando se tem um polinômio multiplicando uma exponencial é tomar u como o polinômio (porque ao derivar ele simplifica) e dv como a exponencial (porque sabemos integrar exponenciais facilmente). Então escolho:
u = t,\qquad dv = e^{4t}\,dt.
Justificativa informal: u=t fica mais simples ao derivar ( du=dt); dv=e^{4t}\,dt tem antiderivada direta.

Passo 4

Calcular du e v.
Derivando u:
du = \frac{d}{dt}(t)\,dt = 1\cdot dt = dt.
Integrando dv para obter v: sabemos que \displaystyle \frac{d}{dt}e^{4t}=4e^{4t}, logo
\int e^{4t}\,dt = \frac{1}{4}e^{4t}+C.
Tomamos a primitiva sem a constante para usar na fórmula, então
v = \frac{1}{4}e^{4t}.
Observação rápida: em geral \displaystyle \int e^{a t}\,dt=\frac{1}{a}e^{a t}+C.

Passo 5

Aplicar a fórmula de integração por partes \int u\,dv = uv - \int v\,du. Substituindo:
\int t e^{4t}\,dt = u v - \int v\,du = t\cdot\frac{1}{4}e^{4t} - \int \frac{1}{4}e^{4t}\,dt.
Factorizando a constante \tfrac{1}{4} no segundo termo:
\int t e^{4t}\,dt = \frac{1}{4}t e^{4t} - \frac{1}{4}\int e^{4t}\,dt.
Agora calculamos \displaystyle \int e^{4t}\,dt=\frac{1}{4}e^{4t} (como mostrado no Passo 4). Substituindo:
\int t e^{4t}\,dt = \frac{1}{4}t e^{4t} - \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}e^{4t} + C.
Simplificando os coeficientes obtemos a expressão (a primitiva, sem ainda escrever na seção final):
\frac{1}{4}t e^{4t} - \frac{1}{16}e^{4t} + C.

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação (bom hábito em prova): derivar \displaystyle F(t)=\frac{1}{4}t e^{4t} - \frac{1}{16}e^{4t} e checar que F'(t)=t e^{4t}.
Primeiro termo: usando regra do produto,
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{4}t e^{4t}\right)=\frac{1}{4}\big(1\cdot e^{4t}+t\cdot 4e^{4t}\big)=\frac{1}{4}e^{4t}+t e^{4t}.
Segundo termo:
\frac{d}{dt}\!\left(-\frac{1}{16}e^{4t}\right)=-\frac{1}{16}\cdot 4e^{4t}=-\frac{1}{4}e^{4t}.
Somando as derivadas: \big(\tfrac{1}{4}e^{4t}+t e^{4t}\big)+\big(-\tfrac{1}{4}e^{4t}\big)=t e^{4t}. Confere com o integrando, portanto a primitiva está correta.

Passo 7

Dica prática para provas: para integrais do tipo \displaystyle \int t e^{a t}\,dt já decorre a fórmula geral
\int t e^{a t}\,dt = \frac{t}{a}e^{a t} - \frac{1}{a^{2}}e^{a t} + C,
que aqui com a=4 dá exatamente o resultado que obtivemos. Se aparecer t^2 e^{at} ou polinômios de grau maior, repete-se integração por partes até reduzir o polinômio.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}t e^{4t} - \frac{1}{16}e^{4t} + C

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