Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
\int t e^{4 t} dt
\int t e^{4 t} dt
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
.
Informações dadas: a variável de integração é ; não há limites (é uma primitiva/antiderivada); o integrando é o produto de uma função polinomial
e uma exponencial
. O objetivo é encontrar uma função
tal que
, mais a constante de integração
.
Informações dadas: a variável de integração é
Passo 2
Apresento a fórmula de integração por partes e a ideia por trás dela (essa é a ferramenta que vamos usar). Parto da regra do produto para derivadas:
Integrando os dois lados em
obtemos
Rearranjando,
Essa é a fórmula de integração por partes escrita como
Aqui
é uma função cuja derivada
é simples,
é a parte que sabemos integrar para obter
. Em prova, essa escolha é crucial.
Passo 3
Escolha de
e
. Uma escolha prática quando se tem um polinômio multiplicando uma exponencial é tomar
como o polinômio (porque ao derivar ele simplifica) e
como a exponencial (porque sabemos integrar exponenciais facilmente). Então escolho:
Justificativa informal:
fica mais simples ao derivar (
);
tem antiderivada direta.
Passo 4
Calcular
e
.
Derivando :
Derivando
Integrando
para obter
: sabemos que
, logo
Tomamos a primitiva sem a constante para usar na fórmula, então
Observação rápida: em geral
.
Passo 5
Aplicar a fórmula de integração por partes
. Substituindo:
Factorizando a constante
no segundo termo:
Agora calculamos
(como mostrado no Passo 4). Substituindo:
Simplificando os coeficientes obtemos a expressão (a primitiva, sem ainda escrever na seção final):
Passo 6
Verificação rápida por diferenciação (bom hábito em prova): derivar
e checar que
.
Primeiro termo: usando regra do produto,
Primeiro termo: usando regra do produto,
Segundo termo:
Somando as derivadas:
. Confere com o integrando, portanto a primitiva está correta.
Passo 7
Dica prática para provas: para integrais do tipo
já decorre a fórmula geral
que aqui com
dá exatamente o resultado que obtivemos. Se aparecer
ou polinômios de grau maior, repete-se integração por partes até reduzir o polinômio.