Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
\int x \ln 3 x dx
\int x \ln 3 x dx
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Vou interpretar
como
(isto é, o logaritmo natural de
). Informação dada: a função a integrar é
e precisamos encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função.
Passo 2
Apresento a fórmula de integração por partes e explico de onde vem, devagarinho. A regra de integração por partes é
Essa fórmula vem da regra do produto para derivação. Se
e
, então
Integrando ambos os lados em
obtemos
O lado esquerdo é
. Isolando
(que é
se escrevemos
) vem a fórmula
Aqui
significa
e
é uma primitiva de
. Na prática, escolhemos
e
de modo que
seja mais simples que
e
seja mais fácil que a integral original.
Passo 3
Escolha de
e
. Uma boa regra prática: escolha
como a parte que simplifica quando derivada (logaritmos, por exemplo) e
como o resto. Então tomo
Vou agora calcular
e
.
Passo 4
Calcular
. Derivada de
:
(ou, reescrevendo
, a derivada de
é
e de
é
). Portanto
Passo 5
Calcular
. Precisamos de uma primitiva de
. Integramos:
Passo 6
Aplicar a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
, obtemos
Passo 7
Simplificar a integral restante e calculá‑la:
então
Agora
Logo
onde
é a constante de integração. Se quiser, pode fatorar
: