Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
\int x \ln 3 x dx

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x \ln 3 x \, dx.
Vou interpretar \ln 3 x como \ln(3x) (isto é, o logaritmo natural de 3x). Informação dada: a função a integrar é x\ln(3x) e precisamos encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função.

Passo 2

Apresento a fórmula de integração por partes e explico de onde vem, devagarinho. A regra de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Essa fórmula vem da regra do produto para derivação. Se u=u(x) e v=v(x), então
\frac{d}{dx}(u v)=u'\,v + u\,v'.
Integrando ambos os lados em x obtemos
\int \frac{d}{dx}(uv)\,dx = \int u'v\,dx + \int uv'\,dx.
O lado esquerdo é uv. Isolando \int u v' \,dx (que é \int u\,dv se escrevemos dv=v'\,dx) vem a fórmula
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui du significa u'(x)\,dx e v é uma primitiva de dv. Na prática, escolhemos u e dv de modo que du seja mais simples que u e \int v\,du seja mais fácil que a integral original.

Passo 3

Escolha de u e dv. Uma boa regra prática: escolha u como a parte que simplifica quando derivada (logaritmos, por exemplo) e dv como o resto. Então tomo
u = \ln(3x),\qquad dv = x\,dx.
Vou agora calcular du e v.

Passo 4

Calcular du. Derivada de \ln(3x):
\frac{d}{dx}\ln(3x)=\frac{1}{3x}\cdot 3=\frac{1}{x}.
(ou, reescrevendo \ln(3x)=\ln 3 + \ln x, a derivada de \ln 3 é 0 e de \ln x é 1/x). Portanto
du = \frac{1}{x}\,dx.

Passo 5

Calcular v. Precisamos de uma primitiva de dv=x\,dx. Integramos:
v = \int x\,dx = \frac{x^2}{2}.

Passo 6

Aplicar a fórmula de integração por partes:
\int x\ln(3x)\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u=\ln(3x), v=\dfrac{x^2}{2} e du=\dfrac{1}{x}\,dx, obtemos
\int x\ln(3x)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(3x) - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx.

Passo 7

Simplificar a integral restante e calculá‑la:
\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{x}{2},
então
\int x\ln(3x)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(3x) - \int \frac{x}{2}\,dx.
Agora
\int \frac{x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int x\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2}=\frac{x^2}{4}.
Logo
\int x\ln(3x)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(3x) - \frac{x^2}{4} + C,
onde C é a constante de integração. Se quiser, pode fatorar \dfrac{x^2}{4}:
\int x\ln(3x)\,dx = \frac{x^2}{4}\bigl(2\ln(3x)-1\bigr)+C.

Resposta

\frac{x^2}{2}\ln(3x)-\frac{x^2}{4}+C

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