Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
\int \cos ^{3} x dx

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \cos^{3} x \, dx.
Informações dadas: a função integranda é \cos^{3}x e a variável de integração é x. Queremos uma antiderivada (integral indefinida), ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\cos^{3}x.

Passo 2

Apresento a fórmula de integração por partes e explico o que cada termo significa. A fórmula é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui:
  • u=u(x) é uma função que escolhemos para ser diferenciada (geralmente escolhemos algo que simplifique ao derivar);
  • dv é a parte restante, que será integrada para obter v;
  • du é a derivada de u multiplicada por dx, ou seja, du = u'(x)\,dx;
  • v é uma antiderivada de dv, ou seja, v = \int dv.
Como heurística (e porque o enunciado pede usar partes), vamos reescrever a integral como
\int \cos^{3}x\,dx = \int \cos^{2}x\cdot\cos x\,dx
e escolher
u=\cos^{2}x,\qquad dv=\cos x\,dx.
Isso porque u=\cos^{2}x fica mais simples ao derivar (aparecem fatores que podemos manipular), e dv=\cos x\,dx tem antiderivada simples.

Passo 3

Calculo du e v:
  • Derivada de u=\cos^{2}x: usando regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\cos^{2}x = 2\cos x\cdot(-\sin x) = -2\cos x\sin x,
logo
du = -2\cos x\sin x\,dx.
  • Antiderivada de dv=\cos x\,dx:
v=\int \cos x\,dx = \sin x.
Agora aplico a fórmula de partes:
\int \cos^{3}x\,dx = \int u\,dv = uv - \int v\,du.
Substituindo u,v,du:
\int \cos^{3}x\,dx = \cos^{2}x\cdot\sin x - \int \sin x\cdot(-2\cos x\sin x)\,dx.
Simplificando o sinal dentro da integral:
\int \cos^{3}x\,dx = \cos^{2}x\sin x + 2\int \cos x\,\sin^{2}x\,dx.

Passo 4

Converter \sin^{2}x em termos de \cos x para obter uma relação envolvendo a integral original. Usamos a identidade pitagórica
\sin^{2}x = 1 - \cos^{2}x.
Portanto
\int \cos x\,\sin^{2}x\,dx = \int \cos x\,(1-\cos^{2}x)\,dx = \int \cos x\,dx - \int \cos^{3}x\,dx.
Substituindo isso na expressão do passo anterior (chamando a integral original de I):
I = \cos^{2}x\sin x + 2\Bigl(\int \cos x\,dx - \int \cos^{3}x\,dx\Bigr).

Passo 5

Organizar a equação para isolar I. Lembre que I=\int \cos^{3}x\,dx aparece dos dois lados:
I = \cos^{2}x\sin x + 2\int \cos x\,dx - 2I.
Passando -2I para o lado esquerdo:
I + 2I = 3I = \cos^{2}x\sin x + 2\int \cos x\,dx.
Calcular \int \cos x\,dx = \sin x. Assim
3I = \cos^{2}x\sin x + 2\sin x.
Dividindo por 3:
I = \frac{1}{3}\bigl(\cos^{2}x\sin x + 2\sin x\bigr).
Podemos fatorar \sin x:
I = \frac{\sin x}{3}\bigl(\cos^{2}x + 2\bigr) + C,
onde C é a constante de integração (adicionada agora, uma vez, ao final).

Passo 6

Verificação rápida (opcional, mas útil para a prova): derivando a resposta para checar que obtemos \cos^{3}x. Seja
F(x)=\frac{1}{3}\sin x\,(2+\cos^{2}x).
Derivando (regra do produto):
F'(x)=\frac{1}{3}\Bigl[(2+\cos^{2}x)\cos x + \sin x\cdot(-2\cos x\sin x)\Bigr].
Fatorando \cos x:
F'(x)=\frac{\cos x}{3}\Bigl(2+\cos^{2}x-2\sin^{2}x\Bigr).
Usando \sin^{2}x=1-\cos^{2}x:
2+\cos^{2}x-2\sin^{2}x = 2+\cos^{2}x -2(1-\cos^{2}x) = 3\cos^{2}x.
Logo
F'(x)=\frac{\cos x}{3}\cdot 3\cos^{2}x = \cos^{3}x,
como queríamos. Verificação OK.

Resposta

\frac{1}{3}\sin x\,(2+\cos^{2}x)+C

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