Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
\int \cos ^{3} x dx
\int \cos ^{3} x dx
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função integranda é
e a variável de integração é
. Queremos uma antiderivada (integral indefinida), ou seja, uma função
tal que
.
Passo 2
Apresento a fórmula de integração por partes e explico o que cada termo significa. A fórmula é
Aqui:
-
é uma função que escolhemos para ser diferenciada (geralmente escolhemos algo que simplifique ao derivar); -
é a parte restante, que será integrada para obter ; -
é a derivada de multiplicada por , ou seja, ; -
é uma antiderivada de , ou seja, .
Como heurística (e porque o enunciado pede usar partes), vamos reescrever a integral como
e escolher
Isso porque
fica mais simples ao derivar (aparecem fatores que podemos manipular), e
tem antiderivada simples.
Passo 3
Calculo
e
:
- Derivada de
: usando regra da cadeia,
logo
- Antiderivada de
:
Agora aplico a fórmula de partes:
Substituindo
:
Simplificando o sinal dentro da integral:
Passo 4
Converter
em termos de
para obter uma relação envolvendo a integral original. Usamos a identidade pitagórica
Portanto
Substituindo isso na expressão do passo anterior (chamando a integral original de
):
Passo 5
Organizar a equação para isolar
. Lembre que
aparece dos dois lados:
Passando
para o lado esquerdo:
Calcular
. Assim
Dividindo por
:
Podemos fatorar
:
onde
é a constante de integração (adicionada agora, uma vez, ao final).
Passo 6
Verificação rápida (opcional, mas útil para a prova): derivando a resposta para checar que obtemos
. Seja
Derivando (regra do produto):
Fatorando
:
Usando
:
Logo
como queríamos. Verificação OK.