Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
\int x \cos ^{2} x dx
\int x \cos ^{2} x dx
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas: a integranda é o produto de
(polinomial) por
(função trigonométrica). A técnica exigida é integração por partes.
Passo 2
Uma simplificação útil antes de aplicar integração por partes é usar a identidade trigonométrica que transforma
em uma soma mais fácil de integrar. A identidade de ângulo duplo diz
Desse modo isolamos
:
Isso facilita porque transforma
em termos de
, cuja primitiva é simples.
Passo 3
Substituindo a identidade na integral,
Agora temos duas integrais: a primeira é direta e a segunda será resolvida por partes.
Passo 4
Calcule a primeira integral simples:
Anote que essa parte já contribui com
no resultado final.
Passo 5
Para a segunda integral
aplicamos a fórmula de integração por partes. Lembrete da fórmula (que vem do produto derivado): para funções
e
,
Aqui é bom escolher
como a parte que fica mais simples ao derivar (normalmente polinômios) e
como o resto.
Passo 6
Escolhemos
Então
Precisamos de
. Calculemos essa primitiva:
pois derivando
obtemos
(a constante
vem da regra da cadeia).
Passo 7
Agora aplicamos integração por partes à integral
:
Ou seja,
Passo 8
Calcule a primitiva de
:
Substituindo em (Passo 7),
Passo 9
Lembrando que a segunda parcela original tinha fator
, temos
Passo 10
Some a contribuição do Passo 4 com a do Passo 9 para obter a integral total:
onde
é a constante de integração. Se preferir, pode usar
e
para escrever de outras formas, mas a expressão acima já está em forma simples e correta.