Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
\int x \cos ^{2} x dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x \cos^{2}x \, dx.
Informações dadas: a integranda é o produto de x (polinomial) por \cos^{2}x (função trigonométrica). A técnica exigida é integração por partes.

Passo 2

Uma simplificação útil antes de aplicar integração por partes é usar a identidade trigonométrica que transforma \cos^{2}x em uma soma mais fácil de integrar. A identidade de ângulo duplo diz
\cos 2x = 2\cos^{2}x - 1.
Desse modo isolamos \cos^{2}x:
\cos^{2}x = \frac{1+\cos 2x}{2}.
Isso facilita porque transforma \cos^{2}x em termos de \cos 2x, cuja primitiva é simples.

Passo 3

Substituindo a identidade na integral,
\int x \cos^{2}x \, dx = \int x \cdot \frac{1+\cos 2x}{2} \, dx = \frac{1}{2}\int x \, dx + \frac{1}{2}\int x\cos 2x \, dx.
Agora temos duas integrais: a primeira é direta e a segunda será resolvida por partes.

Passo 4

Calcule a primeira integral simples:
\frac{1}{2}\int x \, dx = \frac{1}{2}\cdot \frac{x^{2}}{2} = \frac{1}{4}x^{2}.
Anote que essa parte já contribui com \frac{1}{4}x^{2} no resultado final.

Passo 5

Para a segunda integral \frac{1}{2}\int x\cos 2x \, dx aplicamos a fórmula de integração por partes. Lembrete da fórmula (que vem do produto derivado): para funções u e v,
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui é bom escolher u como a parte que fica mais simples ao derivar (normalmente polinômios) e dv como o resto.

Passo 6

Escolhemos
u = x,\qquad dv = \cos 2x \, dx.
Então
du = dx.
Precisamos de v=\int dv=\int \cos 2x \, dx. Calculemos essa primitiva:
v = \int \cos 2x \, dx = \frac{1}{2}\sin 2x,
pois derivando \frac{1}{2}\sin 2x obtemos \cos 2x (a constante \tfrac{1}{2} vem da regra da cadeia).

Passo 7

Agora aplicamos integração por partes à integral \int x\cos 2x \, dx:
\int x\cos 2x \, dx = u v - \int v\,du = x\cdot\frac{1}{2}\sin 2x - \int \frac{1}{2}\sin 2x \, dx.
Ou seja,
\int x\cos 2x \, dx = \frac{1}{2}x\sin 2x - \frac{1}{2}\int \sin 2x \, dx.

Passo 8

Calcule a primitiva de \sin 2x:
\int \sin 2x \, dx = -\frac{1}{2}\cos 2x.
Substituindo em (Passo 7),
\int x\cos 2x \, dx = \frac{1}{2}x\sin 2x - \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right) = \frac{1}{2}x\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x.

Passo 9

Lembrando que a segunda parcela original tinha fator \tfrac{1}{2}, temos
\frac{1}{2}\int x\cos 2x \, dx = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}x\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x\right) = \frac{1}{4}x\sin 2x + \frac{1}{8}\cos 2x.

Passo 10

Some a contribuição do Passo 4 com a do Passo 9 para obter a integral total:
\int x\cos^{2}x \, dx = \frac{1}{4}x^{2} + \frac{1}{4}x\sin 2x + \frac{1}{8}\cos 2x + C,
onde C é a constante de integração. Se preferir, pode usar \sin 2x = 2\sin x\cos x e \cos 2x = 2\cos^{2}x-1 para escrever de outras formas, mas a expressão acima já está em forma simples e correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{4}x\sin 2x+\frac{1}{8}\cos 2x+C

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