Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
\int x^{5} e{x{2}} dx
\int x^{5} e{x{2}} dx
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Queremos uma antiderivada (integral indefinida), isto é, uma função
tal que . - A técnica exigida é integração por partes.
Passo 2
Vou lembrar a fórmula da integração por partes e explicar o porquê dela existir. A fórmula é
Aqui:
-
é uma função que escolhemos (derivável); -
é outra parte do integrando que escolhemos (integrável); -
é a derivada de vezes , isto é, ; -
é uma primitiva de , ou seja, .
Essa fórmula vem da regra do produto:
. Integrando ambos os lados e rearranjando chega-se a
. É útil escolher
de modo que
seja mais simples, e escolher
de modo que possamos achar
facilmente.
Passo 3
Escolha das partes para aplicar integração por partes ao integrando
.
Uma boa ideia é tirar um fator
junto com
, porque
é simples por substituição. Escrevo
Então escolho:
Justificativa informal:
fica mais simples quando derivado;
tem primitiva direta por substituição
.
Passo 4
Calcular
e
.
Derivando
:
Calcular
por substituição: ponha
, então
, isto é,
. Assim
(Para a primitiva
podemos desprezar a constante de integração aqui; ela será reposta no resultado final com uma única constante
.)
Passo 5
Aplicar a fórmula de integração por partes:
Substituindo
:
Simplificando os fatores:
Passo 6
Agora precisamos calcular
. Vou usar substituição direta, que é mais simples aqui.
Escrevo
. Faço a substituição
, então
e
. Também
. Logo
Passo 7
Calcular
. Aqui voltamos a usar integração por partes (agora em variável
) para ensinar a técnica com um exemplo simples.
Escolho para essa integral:
Então
e
. Aplicando a fórmula:
Voltando para
(com
):
Passo 8
Substituir esse resultado na expressão obtida no Passo 5:
Simplificando:
Colocando
em evidência:
Passo 9
Verificação rápida (opcional mas instrutiva): derivando a função
pelo produto obtém-se exatamente
, confirmando que é uma antiderivada correta. Isso fecha a conta com segurança.