Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
\int x^{5} e{x{2}} dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{5} e^{x^{2}}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é x^{5} e^{x^{2}}.
  • Queremos uma antiderivada (integral indefinida), isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=x^{5}e^{x^{2}}.
  • A técnica exigida é integração por partes.

Passo 2

Vou lembrar a fórmula da integração por partes e explicar o porquê dela existir. A fórmula é
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui:
  • u=u(x) é uma função que escolhemos (derivável);
  • dv=dv(x) é outra parte do integrando que escolhemos (integrável);
  • du é a derivada de u vezes dx, isto é, du=u'(x)\,dx;
  • v é uma primitiva de dv, ou seja, v=\int dv.
Essa fórmula vem da regra do produto: (u v)' = u'v + uv'. Integrando ambos os lados e rearranjando chega-se a \int u\,dv = uv - \int v\,du. É útil escolher u de modo que du seja mais simples, e escolher dv de modo que possamos achar v facilmente.

Passo 3

Escolha das partes para aplicar integração por partes ao integrando x^{5} e^{x^{2}}.
Uma boa ideia é tirar um fator x junto com e^{x^{2}}\,dx, porque \int x e^{x^{2}}\,dx é simples por substituição. Escrevo
x^{5} e^{x^{2}} = x^{4} \cdot \bigl(x e^{x^{2}}\bigr).
Então escolho:
u = x^{4},\qquad dv = x e^{x^{2}}\,dx.
Justificativa informal: u=x^4 fica mais simples quando derivado; dv=x e^{x^{2}}dx tem primitiva direta por substituição t=x^{2}.

Passo 4

Calcular du e v.
Derivando u:
du = d(x^{4}) = 4x^{3}\,dx.
Calcular v=\int dv=\int x e^{x^{2}}\,dx por substituição: ponha t=x^{2}, então dt = 2x\,dx, isto é, x\,dx = \tfrac{1}{2}dt. Assim
v = \int x e^{x^{2}}\,dx = \int e^{t}\cdot \tfrac{1}{2}\,dt = \tfrac{1}{2} e^{t} + C = \tfrac{1}{2} e^{x^{2}}.
(Para a primitiva v podemos desprezar a constante de integração aqui; ela será reposta no resultado final com uma única constante +C.)

Passo 5

Aplicar a fórmula de integração por partes:
\int x^{5} e^{x^{2}}\,dx = \int u\,dv = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v, du:
\int x^{5} e^{x^{2}}\,dx = x^{4}\cdot\left(\tfrac{1}{2}e^{x^{2}}\right) - \int \left(\tfrac{1}{2}e^{x^{2}}\right)\cdot (4x^{3}\,dx).
Simplificando os fatores:
\int x^{5} e^{x^{2}}\,dx = \tfrac{1}{2}x^{4}e^{x^{2}} - 2\int x^{3} e^{x^{2}}\,dx.

Passo 6

Agora precisamos calcular \int x^{3} e^{x^{2}}\,dx. Vou usar substituição direta, que é mais simples aqui.
Escrevo x^{3} = x^{2}\cdot x. Faço a substituição t=x^{2}, então dt = 2x\,dx e x\,dx = \tfrac{1}{2}dt. Também x^{2}=t. Logo
\int x^{3} e^{x^{2}}\,dx = \int x^{2}\cdot x e^{x^{2}}\,dx = \int t\cdot \left(\tfrac{1}{2}e^{t}\,dt\right) = \tfrac{1}{2}\int t e^{t}\,dt.

Passo 7

Calcular \int t e^{t}\,dt. Aqui voltamos a usar integração por partes (agora em variável t) para ensinar a técnica com um exemplo simples.
Escolho para essa integral:
U = t,\qquad dV = e^{t}\,dt.
Então dU = dt e V = e^{t}. Aplicando a fórmula:
\int t e^{t}\,dt = t e^{t} - \int e^{t}\,dt = t e^{t} - e^{t} + C = e^{t}(t-1) + C.
Voltando para x (com t=x^{2}):
\int x^{3} e^{x^{2}}\,dx = \tfrac{1}{2}\,e^{t}(t-1) + C = \tfrac{1}{2} e^{x^{2}}(x^{2}-1) + C.

Passo 8

Substituir esse resultado na expressão obtida no Passo 5:
\int x^{5} e^{x^{2}}\,dx = \tfrac{1}{2}x^{4}e^{x^{2}} - 2\left[\tfrac{1}{2} e^{x^{2}}(x^{2}-1)\right] + C.
Simplificando:
\int x^{5} e^{x^{2}}\,dx = \tfrac{1}{2}x^{4}e^{x^{2}} - e^{x^{2}}(x^{2}-1) + C.
Colocando e^{x^{2}} em evidência:
\int x^{5} e^{x^{2}}\,dx = e^{x^{2}}\!\left(\tfrac{1}{2}x^{4} - x^{2} + 1\right) + C.

Passo 9

Verificação rápida (opcional mas instrutiva): derivando a função F(x)=e^{x^{2}}\!\left(\tfrac{1}{2}x^{4}-x^{2}+1\right) pelo produto obtém-se exatamente x^{5}e^{x^{2}}, confirmando que é uma antiderivada correta. Isso fecha a conta com segurança.

Resposta

e^{x^{2}}\left(\frac{1}{2}x^{4}-x^{2}+1\right)+C

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