Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
\int x^{n} \ln x dx, n \varepsilon N
\int x^{n} \ln x dx, n \varepsilon N
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
onde está dado que
. Informação importante para usar durante a resolução: a função
só está definida para
, então vamos assumir
. Também haverá uma constante de integração
.
Passo 2
Vamos usar a fórmula de integração por partes. A fórmula é
Explicando cada termo:
-
é uma função escolhida que vamos diferenciar para obter . -
é a parte que vamos integrar para obter . -
é a diferencial de , isto é . -
é uma primitiva de , isto é .
A ideia é escolher
e
de forma que
seja mais simples que a integral original.
Passo 3
Escolhemos as partes assim (motivação:
fica simples ao ser derivada):
Agora calculamos
e
:
- Diferenciando
:
- Integrando
:
válido porque
implica
.
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Agora simplificamos o integrando da segunda parcela:
. Assim
Passo 5
Calculamos a integral restante
:
Substituindo na expressão anterior:
Passo 6
Juntando termos e escrevendo de forma mais elegante:
Uma fatoração útil é
Passo 7
Observação prática: se por acaso alguém perguntasse o caso
(não é o caso aqui, já que
), a integral seria diferente e dá
obtida também por partes (escolhendo, por exemplo,
e
).