Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
\int x^{n} \ln x dx, n \varepsilon N

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x^{n}\ln x\,dx
onde está dado que n\in\mathbb{N}. Informação importante para usar durante a resolução: a função \ln x só está definida para x>0, então vamos assumir x>0. Também haverá uma constante de integração C.

Passo 2

Vamos usar a fórmula de integração por partes. A fórmula é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Explicando cada termo:
  • u é uma função escolhida que vamos diferenciar para obter du.
  • dv é a parte que vamos integrar para obter v.
  • du é a diferencial de u, isto é du = u'(x)\,dx.
  • v é uma primitiva de dv, isto é v = \int dv.
A ideia é escolher u e dv de forma que \int v\,du seja mais simples que a integral original.

Passo 3

Escolhemos as partes assim (motivação: \ln x fica simples ao ser derivada):
u = \ln x,\qquad dv = x^{n}\,dx.
Agora calculamos du e v:
  • Diferenciando u:
du = \frac{d}{dx}(\ln x)\,dx = \frac{1}{x}\,dx.
  • Integrando dv:
v = \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1},
válido porque n\in\mathbb{N} implica n+1\neq 0.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int x^{n}\ln x\,dx = uv - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int x^{n}\ln x\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\ln x - \int \frac{x^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Agora simplificamos o integrando da segunda parcela: \dfrac{x^{n+1}}{x}=x^{n}. Assim
\int x^{n}\ln x\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\ln x - \frac{1}{n+1}\int x^{n}\,dx.

Passo 5

Calculamos a integral restante \int x^{n}\,dx:
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}.
Substituindo na expressão anterior:
\int x^{n}\ln x\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\ln x - \frac{1}{n+1}\cdot\frac{x^{n+1}}{n+1}.

Passo 6

Juntando termos e escrevendo de forma mais elegante:
\int x^{n}\ln x\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\ln x - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^{2}} + C.
Uma fatoração útil é
\int x^{n}\ln x\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\left(\ln x - \frac{1}{n+1}\right) + C.

Passo 7

Observação prática: se por acaso alguém perguntasse o caso n=-1 (não é o caso aqui, já que n\in\mathbb{N}), a integral seria diferente e dá
\int \frac{\ln x}{x}\,dx = \frac{(\ln x)^{2}}{2} + C,
obtida também por partes (escolhendo, por exemplo, u=\ln x e dv=x^{-1}dx).

Resposta

\frac{x^{n+1}}{n+1}\ln x - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^{2}} + C

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