Resolver os seguintes problemas
  • Uma caixa com uma base quadrada e sem tampa tem um volume de 32000 \mathrm{~cm}^{3}. Encontre as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material usado.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma caixa de base quadrada sem tampa com volume fixo de 32000 \mathrm{cm^3}. O objetivo é determinar a medida do lado da base e a altura que minimizam a área total de material usada. Para isso, vamos usar otimização de função: expressar a área em função de uma única variável, encontrar seu mínimo e, então, achar a outra dimensão.

Passo 2

Definimos como variáveis: \displaystyle x = comprimento do lado da base (em \mathrm{cm}) \displaystyle h = altura da caixa (em \mathrm{cm})
A condição de volume é
x^2\,h = 32000.
Dessa relação isolamos h:
h = \frac{32000}{x^2}.

Passo 3

A área de material usada (sem tampa) é a soma da área da base mais a área das quatro faces laterais. Logo,
A(x,h)=\underbrace{x^2}_{\text{base}} \;+\;\underbrace{4\,(x\,h)}_{\text{lados}}.

Passo 4

Substituindo h=\tfrac{32000}{x^2} em A, obtemos
A(x)=x^2 + 4\,x\;\frac{32000}{x^2} = x^2 + \frac{128000}{x}.
Agora temos A em função só de x.

Passo 5

Para encontrar o mínimo de A(x), calculamos a derivada e igualamos a zero:
A'(x)=2x - 128000\,x^{-2}.
Fazendo A'(x)=0, temos
2x = 128000\,x^{-2} \quad\Longrightarrow\quad 2x^3 = 128000 \quad\Longrightarrow\quad x^3 = 64000 \quad\Longrightarrow\quad x = \sqrt[3]{64000} = 40\;\mathrm{cm}.
Para confirmar que é mínimo, note que
A''(x)=2 + 256000\,x^{-3}>0 \quad\text{para }x>0,
logo x=40 dá mínimo.

Passo 6

Usando x=40 em h=\tfrac{32000}{x^2}, obtemos
h = \frac{32000}{40^2} = \frac{32000}{1600} = 20\;\mathrm{cm}.

Resposta

A caixa de base quadrada sem tampa de volume 32000 \mathrm{cm^3} que usa menos material deve ter lado da base \,x=40 \mathrm{cm} e altura \,h=20 \mathrm{cm}.

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