Uma caixa com uma base quadrada e sem tampa tem um volume de 32000 \mathrm{~cm}^{3}. Encontre as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material usado.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma caixa de base quadrada sem tampa com volume fixo de 32000 \mathrm{cm^3}. O objetivo é determinar a medida do lado da base e a altura que minimizam a área total de material usada. Para isso, vamos usar otimização de função: expressar a área em função de uma única variável, encontrar seu mínimo e, então, achar a outra dimensão.
Passo 2
Definimos como variáveis: \displaystyle x = comprimento do lado da base (em \mathrm{cm}) \displaystyle h = altura da caixa (em \mathrm{cm})
A condição de volume é
x^2\,h = 32000.
Dessa relação isolamos h:
h = \frac{32000}{x^2}.
Passo 3
A área de material usada (sem tampa) é a soma da área da base mais a área das quatro faces laterais. Logo,
h = \frac{32000}{40^2} = \frac{32000}{1600} = 20\;\mathrm{cm}.
Resposta
A caixa de base quadrada sem tampa de volume 32000 \mathrm{cm^3} que usa menos material deve ter lado da base \,x=40 \mathrm{cm} e altura \,h=20 \mathrm{cm}.