Encontre o limite.
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(e^{x}+x\right)^{1 / x}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to\infty}\bigl(e^x + x\bigr)^{1/x}.
Esse problema envolve limites de formas indeterminadas do tipo \infty^{0} e exige fatorar o termo dominante e, se preciso, usar logaritmo para facilitar.

Passo 2

Como e^x domina x quando x\to\infty, fatoramos e^x dentro da potência:
(e^x + x)^{1/x} = \bigl(e^x(1 + x e^{-x})\bigr)^{1/x} = e^{x/x}\,(1 + x e^{-x})^{1/x} = e\,(1 + x e^{-x})^{1/x}.

Passo 3

Definimos
L = \lim_{x\to\infty}(1 + x e^{-x})^{1/x}
e calculamos \ln L:
\ln L = \lim_{x\to\infty}\frac{\ln\bigl(1 + x e^{-x}\bigr)}{x}.
Como x e^{-x}\to0, usamos \ln(1+u)\approx u para u=x e^{-x}, obtendo
\frac{\ln(1 + x e^{-x})}{x} \sim \frac{x e^{-x}}{x} = e^{-x}\;\longrightarrow\;0.
Logo \ln L=0 e L=1.

Passo 4

Voltando à expressão inicial, o limite vale
\lim_{x\to\infty}(e^x + x)^{1/x} = e \cdot \lim_{x\to\infty}(1 + x e^{-x})^{1/x} = e \cdot 1 = e.

Resposta

e

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