Resolver os seguintes problemas
  • Encontre o ponto sobre a reta y=4 x+7 que está mais próximo do ponto ( 0,0 )

Passo 1

O enunciado pede o ponto sobre a reta
y = 4x + 7
que minimiza a distância ao ponto (0,0). O conteúdo é otimização de função de uma variável via minimização da distância (ou distância ao quadrado) de um ponto a uma reta.

Passo 2

Seja P(x,y) um ponto genérico da reta, logo y=4x+7. A distância ao quadrado de P a (0,0) é
f(x) = x^2 + \bigl(4x+7\bigr)^2.
Minimizar a distância equivale a minimizar f(x).

Passo 3

Expandindo e derivando:
f(x) = x^2 + (4x+7)^2 = x^2 + 16x^2 +56x +49 = 17x^2 +56x +49,
f'(x) = 34x + 56.
Igualando a zero para achar o mínimo:
34x + 56 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -\frac{56}{34} = -\frac{28}{17}.

Passo 4

Substituindo em y=4x+7:
y = 4\Bigl(-\tfrac{28}{17}\Bigr) + 7 = -\frac{112}{17} + \frac{119}{17} = \frac{7}{17}.

Resposta

O ponto da reta mais próximo de (0,0) é
\Bigl(-\tfrac{28}{17},\,\tfrac{7}{17}\Bigr).

Exercícios relacionados