Para quais valores dos números a e b a função f(x)=a x+e^{b x^{2}} tem o valor máximo de f(2)=1 ?

Passo 1

O enunciado diz que em x=2 a função
f(x)=a\,x+e^{b x^{2}}
atinge um máximo cujo valor é f(2)=1.
Para isso vamos usar as condições de extremo:
  1. f'(2)=0.
  2. f''(2)<0.
  3. f(2)=1.

Passo 2

Calculemos f'(x):
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(a\,x\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(e^{b x^{2}}\bigr) =a + e^{b x^{2}}\cdot 2b\,x.
Impondo f'(2)=0 obtemos
a + 2b\cdot 2\,e^{b\cdot 2^{2}}=0 \quad\Longrightarrow\quad a + 4b\,e^{4b}=0 \quad\Longrightarrow\quad a=-4b\,e^{4b}.

Passo 3

Impondo f(2)=1 temos
f(2)=2a + e^{4b}=1.
Substituindo a=-4b\,e^{4b} define-se E=e^{4b} e fica
2(-4b\,E)+E=1 \quad\Longrightarrow\quad E(1-8b)=1 \quad\Longrightarrow\quad E=\frac{1}{1-8b}.
Logo
a=-4b\,E=-\frac{4b}{1-8b}.

Passo 4

Para garantir que seja um máximo precisamos de f''(2)<0. Primeiro
f''(x) =\frac{d}{dx}\bigl(a+2b x e^{b x^{2}}\bigr) =2b\,e^{b x^{2}}+2b x\cdot e^{b x^{2}}\cdot2b x =2b\,e^{b x^{2}}\bigl(1+2b x^{2}\bigr).
Em x=2 isso dá
f''(2)=2b\,e^{4b}\,(1+8b).
Como e^{4b}>0, temos f''(2)<0; \Leftrightarrow; b(1+8b)<0, cuja solução é
-\tfrac{1}{8}<b<0.

Resposta

a=-\frac{4b}{1-8b}, \quad -\tfrac{1}{8}<b<0.

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