Resolver os seguintes problemas:
A equação do movimento de uma partícula, é dada por y=2 t^3-7 t^2+4 t+1, t >= 0, onde y está em metros e t, em segundos. Encontre
i. a velocidade e a aceleração como funções em t,
ii. a aceleração depois de 1 segundo,
iii. a aceleração no instante em que a velocidade é 0 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação do movimento de uma partícula: $ y = 2 t^{3} - 7 t^{2} + 4 t + 1 $, onde $ y $ é a posição em metros e $ t $ o tempo em segundos, para $ t \geq 0 $. Vamos precisar usar conceitos de cinemática, especificamente derivadas para encontrar a velocidade e a aceleração em função do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar a função $ y(t) $ para encontrar $ v(t) $:
y(t)
Derivando termo a termo:
v(t)

Passo 3

Agora, a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição. Vamos derivar $ v(t) $ para encontrar $ a(t) $:
v(t)
Derivando termo a termo:
a(t)

Passo 4

Para encontrar a aceleração depois de 1 segundo, basta substituir $ t = 1 $ na expressão de $ a(t) $:
t = 1

Passo 5

Agora, queremos encontrar a aceleração no instante em que a velocidade é 0. Primeiro, vamos encontrar o valor de $ t $ quando $ v(t) = 0 $:
t
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
v(t) = 0
Isso dá duas soluções:
6 t^2 - 14 t + 4 = 0
t = 14 pm raiz(-14)^2 - 4 times 6 times 42 times 6 = 14 pm raiz196 - 9612 = 14 pm raiz10012 = 14 pm 1012
Agora, vamos calcular a aceleração nesses instantes:
Para $ t = 2 $:
t = 14 + 1012 = 2412 = 2 , segundos
Para $ t = \frac{1}{3} $:
t = 14 - 1012 = 412 = 13 , segundos

Resposta

i. A velocidade é $ v(t) = 6 t^{2} - 14 t + 4 $ m/s e a aceleração é $ a(t) = 12 t - 14 $ m/s².
ii. A aceleração depois de 1 segundo é $ -2 $ m/s².
iii. A aceleração no instante em que a velocidade é 0 é $ 10 $ m/s² quando $ t = 2 $ segundos e $ -10 $ m/s² quando $ t = \frac{1}{3} $ segundos.

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