Resolver os seguintes problemas:
A equação do movimento de uma partícula, é dada por
,
, onde
está em metros e
, em segundos. Encontre
i. a velocidade e a aceleração como funções em
,
ii. a aceleração depois de 1 segundo,
iii. a aceleração no instante em que a velocidade é 0 .
A equação do movimento de uma partícula, é dada por
i. a velocidade e a aceleração como funções em
ii. a aceleração depois de 1 segundo,
iii. a aceleração no instante em que a velocidade é 0 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação do movimento de uma partícula: $ y = 2 t^{3} - 7 t^{2} + 4 t + 1 $, onde $ y $ é a posição em metros e $ t $ o tempo em segundos, para $ t \geq 0 $. Vamos precisar usar conceitos de cinemática, especificamente derivadas para encontrar a velocidade e a aceleração em função do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar a função $ y(t) $ para encontrar $ v(t) $:
Derivando termo a termo:
Passo 3
Agora, a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição. Vamos derivar $ v(t) $ para encontrar $ a(t) $:
Derivando termo a termo:
Passo 4
Para encontrar a aceleração depois de 1 segundo, basta substituir $ t = 1 $ na expressão de $ a(t) $:
Passo 5
Agora, queremos encontrar a aceleração no instante em que a velocidade é 0. Primeiro, vamos encontrar o valor de $ t $ quando $ v(t) = 0 $:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Isso dá duas soluções:
Agora, vamos calcular a aceleração nesses instantes:
Para $ t = 2 $:
Para $ t = \frac{1}{3} $:
Resposta
i. A velocidade é $ v(t) = 6 t^{2} - 14 t + 4 $ m/s e a aceleração é $ a(t) = 12 t - 14 $ m/s².
ii. A aceleração depois de 1 segundo é $ -2 $ m/s².
iii. A aceleração no instante em que a velocidade é 0 é $ 10 $ m/s² quando $ t = 2 $ segundos e $ -10 $ m/s² quando $ t = \frac{1}{3} $ segundos.