Resolver os seguintes problemas de valor inicial.
\mathbf{y}^{\prime \prime}-\mathbf{4 y}=0, \mathbf{y}(0)=0, y^{\prime}(0)=6

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado por:
y''-4y=0,
com as condições iniciais
y(0)=0,\qquad y'(0)=6.
Dados relevantes fornecidos:
  • A equação diferencial é linear, homogênea e de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • As condições iniciais especificam o valor da solução e de sua derivada em x=0.
  • Objetivo: encontrar a função y(x) que satisfaça a equação diferencial e as duas condições iniciais.

Passo 2

Método escolhido (explicação didática): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes da forma
y''+a y'+b y=0,
procura-se a solução pelo ansatz y=e^{r x}. Substituindo esse y obtém-se a equação característica em r. No nosso caso a equação é
y''-4y=0,
logo a equação característica é
r^2-4=0.
Resolver a equação característica significa encontrar os valores de r que tornam a expressão zero. Essa é uma equação quadrática simples; resolvendo:
r^2-4=0 \quad\Rightarrow\quad r^2=4 \quad\Rightarrow\quad r=\pm 2.
Comentário didático: quando as raízes r_1 e r_2 da característica são reais e distintas, a solução geral da ODE é
y(x)=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x},
onde C_1 e C_2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 3

Aplicando o resultado anterior com r_1=2 e r_2=-2, a solução geral é
y(x)=C_1 e^{2x}+C_2 e^{-2x},
onde C_1 e C_2 são constantes reais. Agora precisamos da derivada primeira para usar a condição y'(0)=6. Diferenciando termo a termo:
y'(x)=2C_1 e^{2x}-2C_2 e^{-2x}.
Explicação da diferenciação: a derivada de e^{kx} é k e^{kx}; por isso cada termo recebeu o fator 2 ou -2.

Passo 4

Usar a condição y(0)=0. Substituindo x=0 na expressão de y(x):
y(0)=C_1 e^{0}+C_2 e^{0}=C_1+C_2.
Como y(0)=0, obtemos a equação linear entre as constantes:
C_1+C_2=0.
Portanto
C_2=-C_1.

Passo 5

Agora usar a condição y'(0)=6. Substituindo x=0 na expressão de y'(x):
y'(0)=2C_1-2C_2.
Igualando a 6 e substituindo C_2=-C_1:
2C_1-2(-C_1)=6 \quad\Rightarrow\quad 2C_1+2C_1=6 \quad\Rightarrow\quad 4C_1=6.
Logo
C_1=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}.
E, como C_2=-C_1,
C_2=-\frac{3}{2}.

Passo 6

Verificação rápida das condições iniciais (sem repetir a forma final completa): com C_1=\frac{3}{2} e C_2=-\frac{3}{2} temos y(0)=C_1+C_2=0 e y'(0)=2C_1-2C_2=2\cdot\frac{3}{2}-2\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=3+3=6, portanto as constantes estão corretas.

Resposta

y(x)=\tfrac{3}{2}e^{2x}-\tfrac{3}{2}e^{-2x}=3\operatorname{sinh}(2x)

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