Resolver os seguintes problemas de valor inicial.
,
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado por:
com as condições iniciais
Dados relevantes fornecidos:
- A equação diferencial é linear, homogênea e de segunda ordem com coeficientes constantes.
- As condições iniciais especificam o valor da solução e de sua derivada em
. - Objetivo: encontrar a função
que satisfaça a equação diferencial e as duas condições iniciais.
Passo 2
Método escolhido (explicação didática): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes da forma
procura-se a solução pelo ansatz
. Substituindo esse
obtém-se a equação característica em
. No nosso caso a equação é
logo a equação característica é
Resolver a equação característica significa encontrar os valores de
que tornam a expressão zero. Essa é uma equação quadrática simples; resolvendo:
Comentário didático: quando as raízes
e
da característica são reais e distintas, a solução geral da ODE é
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 3
Aplicando o resultado anterior com
e
, a solução geral é
onde
e
são constantes reais. Agora precisamos da derivada primeira para usar a condição
. Diferenciando termo a termo:
Explicação da diferenciação: a derivada de
é
; por isso cada termo recebeu o fator
ou
.
Passo 4
Usar a condição
. Substituindo
na expressão de
:
Como
, obtemos a equação linear entre as constantes:
Portanto
Passo 5
Agora usar a condição
. Substituindo
na expressão de
:
Igualando a
e substituindo
:
Logo
E, como
,
Passo 6
Verificação rápida das condições iniciais (sem repetir a forma final completa): com
e
temos
e
, portanto as constantes estão corretas.