Determinar as soluções das seguintes equações diferenciais. \underline{w}^{\prime \prime}+5 \underline{w}=0
Passo 1
O enunciado pede para determinar as soluções da equação diferencial
\underline{w}'' + 5\underline{w} = 0.
Aqui a incógnita é a função \underline{w} de uma variável independente (posso chamar de t). Ou seja, buscamos todas as funções \underline{w}(t) que satisfazem essa relação de segunda ordem, homogênea e com coeficientes constantes.
Passo 2
Método: tentar uma solução do tipo exponencial. Esta é a técnica padrão para equações lineares com coeficientes constantes porque derivadas de exponenciais são proporcionais à própria exponencial, o que transforma a EDO numa equação algébrica simples.
Assuma a solução teste
\underline{w}(t)=e^{rt},
onde r é um número (possivelmente complexo) a determinar. Então
Como e^{rt} nunca é zero, podemos dividir por e^{rt} e obter a equação característica:
r^2 + 5 = 0.
Passo 3
Resolver a equação característica:
r^2 = -5 \quad\Rightarrow\quad r = \pm i\sqrt{5},
onde i=\sqrt{-1}. Obtivemos duas raízes complexas conjugadas: r_1 = i\sqrt{5} e r_2 = -i\sqrt{5}.
Passo 4
Com raízes complexas conjugadas \alpha\pm i\beta (aqui \alpha=0 e \beta=\sqrt{5}), a solução geral complexa é combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde A e B são constantes reais arbitrárias (determinadas por condições iniciais, se houver). Explicando por que: \cos(\sqrt5 t) e \sin(\sqrt5 t) são duas soluções linearmente independentes da EDO, e para uma equação linear de segunda ordem a combinação linear destas duas gera toda a família de soluções.
Passo 6
Forma alternativa (útil para interpretação física): a solução também pode ser escrita como um único cosseno com amplitude e fase,