Determinar as soluções das seguintes equações diferenciais.
\underline{w}^{\prime \prime}+5 \underline{w}=0

Passo 1

O enunciado pede para determinar as soluções da equação diferencial
\underline{w}'' + 5\underline{w} = 0.
Aqui a incógnita é a função \underline{w} de uma variável independente (posso chamar de t). Ou seja, buscamos todas as funções \underline{w}(t) que satisfazem essa relação de segunda ordem, homogênea e com coeficientes constantes.

Passo 2

Método: tentar uma solução do tipo exponencial. Esta é a técnica padrão para equações lineares com coeficientes constantes porque derivadas de exponenciais são proporcionais à própria exponencial, o que transforma a EDO numa equação algébrica simples.
Assuma a solução teste
\underline{w}(t)=e^{rt},
onde r é um número (possivelmente complexo) a determinar. Então
\underline{w}'(t)=r e^{rt},\qquad \underline{w}''(t)=r^2 e^{rt}.
Substituindo na equação diferencial,
r^2 e^{rt} + 5 e^{rt} = 0.
Como e^{rt} nunca é zero, podemos dividir por e^{rt} e obter a equação característica:
r^2 + 5 = 0.

Passo 3

Resolver a equação característica:
r^2 = -5 \quad\Rightarrow\quad r = \pm i\sqrt{5},
onde i=\sqrt{-1}. Obtivemos duas raízes complexas conjugadas: r_1 = i\sqrt{5} e r_2 = -i\sqrt{5}.

Passo 4

Com raízes complexas conjugadas \alpha\pm i\beta (aqui \alpha=0 e \beta=\sqrt{5}), a solução geral complexa é combinação linear das exponenciais correspondentes:
\underline{w}(t)=C_1 e^{i\sqrt{5}\,t}+C_2 e^{-i\sqrt{5}\,t},
com constantes C_1,C_2. Para obter soluções reais (geralmente o que se deseja), usamos a fórmula de Euler
e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta,
e a linearidade da EDO para transformar essa combinação em combinações reais de seno e cosseno.

Passo 5

Aplicando Euler e agrupando termos reais, obtemos a forma real da solução geral:
\underline{w}(t)=A\cos\bigl(\sqrt{5}\,t\bigr)+B\sin\bigl(\sqrt{5}\,t\bigr),
onde A e B são constantes reais arbitrárias (determinadas por condições iniciais, se houver). Explicando por que: \cos(\sqrt5 t) e \sin(\sqrt5 t) são duas soluções linearmente independentes da EDO, e para uma equação linear de segunda ordem a combinação linear destas duas gera toda a família de soluções.

Passo 6

Forma alternativa (útil para interpretação física): a solução também pode ser escrita como um único cosseno com amplitude e fase,
\underline{w}(t)=R\cos\bigl(\sqrt{5}\,t-\varphi\bigr),
onde
R=\sqrt{A^2+B^2},\qquad \varphi=\operatorname{atan2}(B,A).
Isto apenas reescreve a combinação de seno e cosseno em termos de amplitude R e deslocamento de fase \varphi.

Resposta

\displaystyle \underline{w}(t)=A\cos\bigl(\sqrt{5}\,t\bigr)+B\sin\bigl(\sqrt{5}\,t\bigr)

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