Resolver os seguintes problemas de valor inicial.
seny dy;
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial. Precisamos encontrar a solução
que satisfaz:
com condição inicial
Ou seja: resolver o problema de valor inicial e entregar
em função de
.
Passo 2
Reconhecer o tipo de equação: a equação é separável, porque podemos colocar todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro. Para separar, divido ambos os lados por
(assumindo
nos pontos que tratar) e por
, obtendo:
Como
, fica
Explicando rapidinho: “separável” significa só rearranjar para algo do tipo
, o que permite integrar cada lado em relação à sua variável.
Passo 3
Integrar ambos os lados em relação às suas variáveis:
O lado esquerdo é direto:
Passo 4
Calcular
. Faço isso escrevendo
e usando substituição
. Então:
Portanto
Aqui expliquei a substituição para você entender o porquê do
.
Passo 5
Igualando as integrais (e juntando constantes
e
numa única constante
):
onde
é uma constante arbitrária.
Passo 6
Aplicar a condição inicial
para determinar
. Substituo
e
em
Como
, tem-se
e
. Logo
Portanto a relação entre
e
é
Passo 7
Resolver explicitamente para
. A partir de
temos
Agora escolhemos o sinal com base na condição inicial: em
deve valer
, ou seja o cosseno é negativo. Isso implica
Observação sobre domínio: como
, precisa ocorrer
, o que equivale a
. Portanto a solução só existe (na forma encontrada) para
— e isso faz sentido porque para
teríamos
, impossibilidade para
.
Passo 8
Expressar
em função de
escolhendo o ramo do
que satisfaz a condição inicial. Como
e queremos
, tomamos a função inversa apropriada:
com domínio
. Essa fórmula dá
e é contínua para
.
Passo 9
Verificação rápida (pra ficar tranquilo): derivando implicitamente
obtemos
, daí
. Usando
obtemos
, que é a mesma relação equivalente a partir da equação original (porque
implica
). Então a solução é consistente.