Resolver os seguintes problemas de valor inicial.
\operatorname{cosydx}= seny dy;
y(0)=\pi

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial. Precisamos encontrar a solução y(x) que satisfaz:
\cos y\,dx=\sin y\,dy,
com condição inicial
y(0)=\pi.
Ou seja: resolver o problema de valor inicial e entregar y em função de x.

Passo 2

Reconhecer o tipo de equação: a equação é separável, porque podemos colocar todos os termos com x de um lado e todos os termos com y do outro. Para separar, divido ambos os lados por \cos y (assumindo \cos y\neq0 nos pontos que tratar) e por dx, obtendo:
dx=\frac{\sin y}{\cos y}\,dy.
Como \dfrac{\sin y}{\cos y}=\tan y, fica
dx=\tan y\,dy.
Explicando rapidinho: “separável” significa só rearranjar para algo do tipo f(x)\,dx=g(y)\,dy, o que permite integrar cada lado em relação à sua variável.

Passo 3

Integrar ambos os lados em relação às suas variáveis:
\int dx=\int \tan y\,dy.
O lado esquerdo é direto:
\int dx = x + C_1.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int \tan y\,dy. Faço isso escrevendo \tan y=\dfrac{\sin y}{\cos y} e usando substituição u=\cos y. Então:
u=\cos y\quad\Rightarrow\quad du=-\sin y\,dy.
Portanto
\int \tan y\,dy=\int \frac{\sin y}{\cos y}\,dy = -\int \frac{du}{u} = -\ln|u| + C_2 = -\ln|\cos y| + C_2.
Aqui expliquei a substituição para você entender o porquê do -\ln|\cos y|.

Passo 5

Igualando as integrais (e juntando constantes C_1 e C_2 numa única constante C):
x + C_1 = -\ln|\cos y| + C_2 \quad\Longrightarrow\quad x = -\ln|\cos y| + C,
onde \,C=C_2-C_1\, é uma constante arbitrária.

Passo 6

Aplicar a condição inicial y(0)=\pi para determinar C. Substituo x=0 e y=\pi em
x = -\ln|\cos y| + C.
Como \cos\pi=-1, tem-se |\cos\pi|=1 e \ln 1=0. Logo
0 = -\ln|\,\cos\pi\,| + C = 0 + C \quad\Rightarrow\quad C=0.
Portanto a relação entre x e y é
x = -\ln|\cos y|.

Passo 7

Resolver explicitamente para y. A partir de x=-\ln|\cos y| temos
\ln|\cos y| = -x \quad\Rightarrow\quad |\cos y| = e^{-x}.
Agora escolhemos o sinal com base na condição inicial: em x=0 deve valer \cos y=\cos\pi=-1, ou seja o cosseno é negativo. Isso implica
\cos y = -e^{-x}.
Observação sobre domínio: como |\cos y|\le1, precisa ocorrer e^{-x}\le1, o que equivale a x\ge0. Portanto a solução só existe (na forma encontrada) para x\ge0 — e isso faz sentido porque para x<0 teríamos e^{-x}>1, impossibilidade para |\cos y|.

Passo 8

Expressar y em função de x escolhendo o ramo do \operatorname{arccos} que satisfaz a condição inicial. Como \cos y=-e^{-x} e queremos y(0)=\pi, tomamos a função inversa apropriada:
y(x)=\operatorname{arccos}\bigl(-e^{-x}\bigr),
com domínio x\ge0. Essa fórmula dá y(0)=\operatorname{arccos}(-1)=\pi e é contínua para x\ge0.

Passo 9

Verificação rápida (pra ficar tranquilo): derivando implicitamente \cos y=-e^{-x} obtemos -\sin y\,y' = e^{-x}, daí y'=\dfrac{-e^{-x}}{\sin y}. Usando \cos y=-e^{-x} obtemos y'=\cot y, que é a mesma relação equivalente a partir da equação original (porque \cos y\,dx=\sin y\,dy implica dy/dx=\cot y). Então a solução é consistente.

Resposta

y(x)=\operatorname{arccos}\bigl(-e^{-x}\bigr),\quad x\ge0

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