Resolver os seguintes problemas de valores iniciais usando transformada de Laplace.
ddoty(t)+4 doty(t)+4 y(t)=2 de<a(t-3) com as condições iniciais y(0)=-1 e doty(0)=2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por transformada de Laplace, o problema de valor inicial
ddot y(t) + 4dot y(t) + 4y(t) = 2,de<a(t-3), y(0)=-1,;dot y(0)=2
O conteúdo envolvido é: transformada de Laplace de derivadas, de impulso de<a, e uso do teorema do deslocamento no tempo (fator e^-as) para inverter a transformada.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo. Chamando Y(s)= Ly(t), temos
Lddot y = s^2Y(s)-s,y(0)-dot y(0)=s^2Y(s)+s-2,
Ldot y = sY(s)-y(0)=sY(s)+1,
Ly=Y(s),
L2,de<a(t-3)=2e^-3s
Substituindo na equação,
(s^2Y(s)+s-2)+4,(sY(s)+1)+4Y(s)=2e^-3s

Passo 3

Agrupando os termos em Y(s) e os termos livres,
(s^2+4s+4),Y(s)+(s-2+4)=2e^-3s,
(s+2)^2Y(s)+(s+2)=2e^-3s
Logo
Y(s) =2e^-3s-(s+2)(s+2)^2 =2e^-3s(s+2)^2-s+2(s+2)^2 =2e^-3s(s+2)^2-1s+2

Passo 4

Agora invertendo cada parcela:
  1. L^-1tfrac1s+2=e^-2t
  2. L^-1tfrac2(s+2)^2=2,t,e^-2t
    Pela fórmula do deslocamento no tempo,
    L^-1F(s)e^-3s=u(t-3),f(t-3). Assim
L^-1l2e^-3s(s+2)^2r = u(t-3),2,(t-3),e^-2(t-3)
Juntando,
y(t) = u(t-3),2,(t-3),e^-2(t-3) ;-; e^-2t

Resposta

y(t)=-e^-2t+2,u(t-3),(t-3),e^-2(t-3)

Exercícios relacionados