Gás escapa dc um balào esférico à razão de 4 m^3 / h. Determine a taxa de variação do raio quando sua medida é de 1 m , indicando a unidade apropriada.

Passo 1

O enunciado nos diz que um balão esférico perde volume de gás à razão de 4 m^3/h. Como o volume V de uma esfera de raio r é dado por
V = tfrac43,pi,r^3,
queremos usar derivadas relacionadas (\emph{related rates}) para achar drdt quando r=1 m.

Passo 2

Diferenciando a relação V = tfrac43pi r^3 em relação ao tempo t, obtemos
dVdt = ddt!l(tfrac43pi r^3r) = 4pi r^2,drdt

Passo 3

Como o gás está escapando, temos dVdt=-4 m^3/h. Substituindo r=1 m e dVdt=-4 na expressão anterior, segue
-4 = 4pi,(1)^2,drdt Longrightarrow drdt = -44pi = -1pi

Resposta

drdt = -1pi m/h

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