Resolver os seguintes PVIs
d yd x=1y sin (x), y(pi)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado pede para resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) com uma condição inicial. A equação que temos é:
dydx = 1y sin(x), y(pi) = 1
Para resolver isso, vamos precisar usar o método de separação de variáveis, que nos ajuda a organizar a equação de forma que todas as partes envolvendo $ y $ fiquem de um lado e as que envolvem $ x $ fiquem do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis $ y $ e $ x $. A equação dada é:
y
Multiplicando ambos os lados por $ y $ e por $ dx $, temos:
x
Agora, as variáveis estão separadas: todos os termos com $ y $ estão de um lado e os com $ x $ do outro.

Passo 3

Com as variáveis separadas, o próximo passo é integrar ambos os lados da equação. Vamos integrar $ y , dy $ em relação a $ y $ e $ \sin(x) , dx $ em relação a $ x $:
y , dy
As integrais ficam assim:
y
Onde $ C $ é a constante de integração que vamos determinar no próximo passo.

Passo 4

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor da constante $ C $. Sabemos que quando $ x = \pi $, $ y = 1 $. Substituindo esses valores na equação:
C
Sabemos que $ \cos(\pi) = -1 $, então:
x = pi

Passo 5

Com o valor de $ C $ encontrado, substituímos de volta na equação geral:
C
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
y^22 = -cos(x) - 12
Para encontrar $ y $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
y^2 = -2 cos(x) - 1

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = raiz-2 cos(x) - 1

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