Resolver os seguintes PVIs
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (PVI) que é uma equação diferencial com uma condição inicial. A equação que temos é
e a condição inicial é
. Para resolver isso, a gente vai precisar saber como integrar, que é basicamente encontrar a antiderivada, e depois usar a condição inicial pra descobrir a constante que aparece na integração.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a derivada
para encontrar
. A equação é:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Do lado esquerdo, a integral de
em relação a
simplesmente dá
. No lado direito, vamos integrar termo a termo.
Passo 3
Vamos integrar cada termo da direita:
Então, juntando tudo:
Aqui,
é a constante de integração que precisamos descobrir usando a condição inicial.
Passo 4
Agora, vamos usar a condição inicial
para achar
. Substituindo
e
na equação que encontramos:
Então, a constante
é igual a 1.
Resposta
A solução do PVI é: