Resolver os seguintes PVIs
d yd x=x^2+1, y(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (PVI) que é uma equação diferencial com uma condição inicial. A equação que temos é dydx = x^2 + 1 e a condição inicial é y(0) = 1. Para resolver isso, a gente vai precisar saber como integrar, que é basicamente encontrar a antiderivada, e depois usar a condição inicial pra descobrir a constante que aparece na integração.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a derivada dydx para encontrar y(x). A equação é:
dydx = x^2 + 1
Integrando ambos os lados em relação a x:
integral dydx , dx = integral (x^2 + 1) , dx
Do lado esquerdo, a integral de dydx em relação a x simplesmente dá y. No lado direito, vamos integrar termo a termo.

Passo 3

Vamos integrar cada termo da direita:
integral x^2 , dx = x^33
integral 1 , dx = x
Então, juntando tudo:
y = x^33 + x + C
Aqui, C é a constante de integração que precisamos descobrir usando a condição inicial.

Passo 4

Agora, vamos usar a condição inicial y(0) = 1 para achar C. Substituindo x = 0 e y = 1 na equação que encontramos:
1 = 0^33 + 0 + C Rightarrow 1 = C
Então, a constante C é igual a 1.

Resposta

A solução do PVI é:
y(x) = x^33 + x + 1

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