Resolver os seguintes PVIs
d yd x=x^2y, y(1)=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema que pede para resolver o seguinte PVI (Problema de Valor Inicial):
dydx = x^2y, y(1) = 3
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais, especificamente uma equação separável. Vamos precisar isolar as variáveis $ y $ e $ x $ para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para separar as variáveis $ y $ e $ x $. Para isso, multiplicamos ambos os lados por $ y $ e $ dx $:
y
Agora, temos $ y $ de um lado e $ x $ do outro, prontos para integrar.

Passo 3

Vamos integrar os dois lados da equação. Lembrando que a integral de $ y $ com relação a $ y $ é:
y
E a integral de $ x^{2} $ com relação a $ x $ é:
y
Então, integrando ambos os lados:
integral y , dy = 12y^2
Onde $ C $ é a constante de integração que precisamos determinar.

Passo 4

Agora, aplicamos a condição inicial $ y(1) = 3 $ para encontrar o valor de $ C $. Substituindo $ x = 1 $ e $ y = 3 $ na equação:
y(1) = 3
Calculando:
C

Passo 5

Com $ C = \frac{25}{6} $, substituímos de volta na equação geral:
C = 256
Multiplicamos todos os termos por 2 para simplificar:
12y^2 = 13x^3 + 256

Passo 6

Finalmente, resolvemos para $ y $ tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
y
Podemos simplificar colocando o denominador comum:
y = raiz23x^3 + 253

Resposta

A solução do PVI é:
y = raiz23x^3 + 253

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