Resolver os seguintes PVIs
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema que pede para resolver o seguinte PVI (Problema de Valor Inicial):
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais, especificamente uma equação separável. Vamos precisar isolar as variáveis $ y $ e $ x $ para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para separar as variáveis $ y $ e $ x $. Para isso, multiplicamos ambos os lados por $ y $ e $ dx $:
Agora, temos $ y $ de um lado e $ x $ do outro, prontos para integrar.
Passo 3
Vamos integrar os dois lados da equação. Lembrando que a integral de $ y $ com relação a $ y $ é:
E a integral de $ x^{2} $ com relação a $ x $ é:
Então, integrando ambos os lados:
Onde $ C $ é a constante de integração que precisamos determinar.
Passo 4
Agora, aplicamos a condição inicial $ y(1) = 3 $ para encontrar o valor de $ C $. Substituindo $ x = 1 $ e $ y = 3 $ na equação:
Calculando:
Passo 5
Com $ C = \frac{25}{6} $, substituímos de volta na equação geral:
Multiplicamos todos os termos por 2 para simplificar:
Passo 6
Finalmente, resolvemos para $ y $ tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Podemos simplificar colocando o denominador comum:
Resposta
A solução do PVI é: