Resolver os seguintes PVIs
d yd x=xy, y(1)=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra resolver a equação diferencial dydx = xy com a condição inicial y(1) = 2. Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais de Primeira Ordem, mais especificamente das equações separáveis. Vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $. Isso significa reorganizar a equação para que todos os termos com $ y $ fiquem de um lado e os termos com $ x $ do outro.
Começamos com:
y
Multiplicando ambos os lados por $ y $ e por $ dx $ para separar:
x

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação separada. A integral de $ y , dy $ em relação a $ y $ e a integral de $ x , dx $ em relação a $ x $.
Integrando:
y , dy
Resolvendo as integrais:
y
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos usar a condição inicial $ y(1) = 2 $ para encontrar o valor de $ C $.
Substituindo $ x = 1 $ e $ y = 2 $ na equação:
y(1) = 2
C
x = 1
Subtraindo $ \frac{1}{2} $ de ambos os lados:
y = 2

Resposta

Então, substituindo $ C = \frac{3}{2} $ na equação geral:
C = 32
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
y^22 = x^22 + 32
Finalmente, isolando $ y $:
y^2 = x^2 + 3
Portanto, a solução da equação diferencial é:
y

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