Resolver os seguintes PVIs
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra resolver a equação diferencial
com a condição inicial
. Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais de Primeira Ordem, mais especificamente das equações separáveis. Vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $. Isso significa reorganizar a equação para que todos os termos com $ y $ fiquem de um lado e os termos com $ x $ do outro.
Começamos com:
Multiplicando ambos os lados por $ y $ e por $ dx $ para separar:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação separada. A integral de $ y , dy $ em relação a $ y $ e a integral de $ x , dx $ em relação a $ x $.
Integrando:
Resolvendo as integrais:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos usar a condição inicial $ y(1) = 2 $ para encontrar o valor de $ C $.
Substituindo $ x = 1 $ e $ y = 2 $ na equação:
Subtraindo $ \frac{1}{2} $ de ambos os lados:
Resposta
Então, substituindo $ C = \frac{3}{2} $ na equação geral:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Finalmente, isolando $ y $:
Portanto, a solução da equação diferencial é: