Resolver os seguintes PVIs
d yd x=cos (x)y, y(pi2)=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial d yd x=cos (x)y com uma condição inicial y(pi2)=2. A matéria aqui é sobre Equações Diferenciais Ordinárias, mais especificamente Equações Diferenciais de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis da equação. A ideia é ter todas as expressões com y de um lado e com x do outro. Então, multiplicamos ambos os lados por y:
y cdot d yd x = cos(x)
Isso dá:
y , dy = cos(x) , dx

Passo 3

Agora, a gente integra os dois lados da equação. A integral de y , dy é y^22 e a integral de cos(x) , dx é sin(x):
integral y , dy = integral cos(x) , dx
y^22 = sin(x) + C

Passo 4

Vamos resolver para y isolando a variável. Multiplicando ambos os lados por 2:
y^2 = 2sin(x) + 2C
Podemos simplificar 2C para C' (uma constante qualquer):
y^2 = 2sin(x) + C'

Passo 5

Agora usamos a condição inicial para encontrar o valor da constante. Sabemos que quando x = pi2, y = 2. Substituindo na equação:
2^2 = 2sin(pi2) + C'
4 = 2 cdot 1 + C'
4 = 2 + C'
C' = 2

Passo 6

Substituindo C' = 2 de volta na equação geral:
y^2 = 2sin(x) + 2
Para deixar a expressão de y isolada, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
y = raiz2sin(x) + 2

Resposta

A solução do PVI é y = raiz2sin(x) + 2.

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