Resolver os seguintes PVIs
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial
com uma condição inicial
. A matéria aqui é sobre Equações Diferenciais Ordinárias, mais especificamente Equações Diferenciais de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis da equação. A ideia é ter todas as expressões com
de um lado e com
do outro. Então, multiplicamos ambos os lados por
:
Isso dá:
Passo 3
Agora, a gente integra os dois lados da equação. A integral de
é
e a integral de
é
:
Passo 4
Vamos resolver para
isolando a variável. Multiplicando ambos os lados por 2:
Podemos simplificar
para
(uma constante qualquer):
Passo 5
Agora usamos a condição inicial para encontrar o valor da constante. Sabemos que quando
,
. Substituindo na equação:
Passo 6
Substituindo
de volta na equação geral:
Para deixar a expressão de
isolada, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A solução do PVI é
.