Resolver os seguintes PVIs
d yd x=2 x1+y^2, y(0)=1

Passo 1

Beleza, então a gente tem um problema de valor inicial aqui. Nosso objetivo é resolver a equação diferencial dydx = 2x1 + y^2 com a condição inicial y(0) = 1. Para isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis y e x. Isso significa que vamos reorganizar a equação para ter todos os termos com y de um lado e os termos com x do outro. Começamos multiplicando ambos os lados por 1 + y^2:
(1 + y^2) , dy = 2x , dx

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo com respeito a y e a do lado direito com respeito a x:
integral (1 + y^2) , dy = integral 2x , dx

Passo 4

Vamos resolver cada integral:
  • Integral da esquerda:
    integral (1 + y^2) , dy = y + y^33 + C1
  • Integral da direita:
    integral 2x , dx = x^2 + C2
Aqui, C1 e C2 são constantes de integração. Podemos simplificar combinando as duas constantes em uma só, C.

Passo 5

Igualando as duas expressões integradas:
y + y^33 = x^2 + C
Agora, precisamos encontrar a constante C usando a condição inicial y(0) = 1.

Passo 6

Substituindo x = 0 e y = 1 na equação:
1 + 1^33 = 0^2 + C 1 + 13 = C C = 43

Passo 7

Agora, substituímos C de volta na equação geral:
y + y^33 = x^2 + 43
Para simplificar, podemos multiplicar toda a equação por 3 para eliminar as frações:
3y + y^3 = 3x^2 + 4

Passo 8

Reorganizando para deixar a equação igual a zero:
y^3 + 3y - 3x^2 - 4 = 0
Essa é a solução implícita da equação diferencial dada as condições iniciais.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é a função y(x) que satisfaz a equação:
y^3 + 3y = 3x^2 + 4
Ou seja,
y^3 + 3y - 3x^2 - 4 = 0
Esta equação relaciona y e x de forma que a condição inicial y(0) = 1 é atendida.

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