Resolver os seguintes PVIs
Passo 1
Beleza, então a gente tem um problema de valor inicial aqui. Nosso objetivo é resolver a equação diferencial
com a condição inicial
. Para isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integrar ambos os lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
. Isso significa que vamos reorganizar a equação para ter todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Começamos multiplicando ambos os lados por
:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo com respeito a
e a do lado direito com respeito a
:
Passo 4
Vamos resolver cada integral:
-
Integral da esquerda:
-
Integral da direita:
Aqui,
e
são constantes de integração. Podemos simplificar combinando as duas constantes em uma só,
.
Passo 5
Igualando as duas expressões integradas:
Agora, precisamos encontrar a constante
usando a condição inicial
.
Passo 6
Substituindo
e
na equação:
Passo 7
Agora, substituímos
de volta na equação geral:
Para simplificar, podemos multiplicar toda a equação por 3 para eliminar as frações:
Passo 8
Reorganizando para deixar a equação igual a zero:
Essa é a solução implícita da equação diferencial dada as condições iniciais.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é a função
que satisfaz a equação:
Ou seja,
Esta equação relaciona
e
de forma que a condição inicial
é atendida.