Resolver os seguintes PVIs
d yd x=e^xy, y(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial que é do tipo PVI (Problema de Valor Inicial). O enunciado que a gente tem é:
dydx = e^xy, y(0) = 1
Aqui, estamos lidando com cálculos que envolvem derivadas e integração. Para resolver isso, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $ para facilitar a integração. A equação que temos é:
y
Podemos multiplicar ambos os lados por $ y $ e $ dx $ para isolar os termos:
x

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar uma função $ y $ que satisfaça essa igualdade.
Integrando o lado esquerdo:
y
E o lado direito:
integral y , dy = 12 y^2 + C1

Passo 4

Vamos igualar as integrais, já que ambas são iguais à constante de integração $ C $:
C
Para simplificar, multiplicamos tudo por 2:
12 y^2 = e^x + C

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor da constante $ C $ usando a condição inicial que nos foi dada: $ y(0) = 1 $.
Substituindo $ x = 0 $ e $ y = 1 $ na equação:
C

Passo 6

Com o valor de $ C $ encontrado, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
C
Para isolar $ y $, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
y^2 = 2 e^x - 1

Resposta

A solução do problema é:
y = raiz2 e^x - 1

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