Resolver os seguintes PVIs
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial que é do tipo PVI (Problema de Valor Inicial). O enunciado que a gente tem é:
Aqui, estamos lidando com cálculos que envolvem derivadas e integração. Para resolver isso, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $ para facilitar a integração. A equação que temos é:
Podemos multiplicar ambos os lados por $ y $ e $ dx $ para isolar os termos:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar uma função $ y $ que satisfaça essa igualdade.
Integrando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Passo 4
Vamos igualar as integrais, já que ambas são iguais à constante de integração $ C $:
Para simplificar, multiplicamos tudo por 2:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o valor da constante $ C $ usando a condição inicial que nos foi dada: $ y(0) = 1 $.
Substituindo $ x = 0 $ e $ y = 1 $ na equação:
Passo 6
Com o valor de $ C $ encontrado, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Para isolar $ y $, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Resposta
A solução do problema é: