A menos de ordenamento dos blocos, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para uma matriz complexa cujo polinômio característico é p(t)=t^3(t+3)^4(t-5)^4 e cujo polinômio mínimo é m(t)=t^2(t+3)^2(t-5)^2

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A com polinômio característico
p(t)=t^3(t+3)^4(t-5)^4
e polinômio mínimo
m(t)=t^2(t+3)^2(t-5)^2
Logo os autovalores são 0, -3 e 5 com multiplicidades algébricas 3, 4 e 4, e os expoentes em m(t) indicam o tamanho máximo de bloco de Jordan para cada valor próprio.

Passo 2

Para lambda=0 temos mult. algébrica 3 e expoente em m(t) igual a 2. Queremos particionar 3 em blocos de tamanho <=2 e com pelo menos um bloco de tamanho 2. A única forma é
3 = 2 + 1,
isto é
J0 = J2(0)oplus J1(0)

Passo 3

Para lambda=-3 a mult. algébrica é 4 e expoente em m(t) é 2. Partições de 4 em partes <=2 contendo ao menos um 2 são
4 = 2 + 2 ou 4 = 2 + 1 + 1
Logo as duas configurações possíveis são
J-3^a = J2(-3)oplus J2(-3), J-3^b = J2(-3)oplus J1(-3)oplus J1(-3)

Passo 4

Para lambda=5 procede-se do mesmo modo (mult. alg. 4, expoente em m(t) igual a 2), obtendo as partições
4 = 2 + 2 ou 4 = 2 + 1 + 1,
isto é
J5^a = J2(5)oplus J2(5), J5^b = J2(5)oplus J1(5)oplus J1(5)

Passo 5

Como para lambda=0 há apenas uma configuração e para -3 e 5 há duas cada, o total de formas canônicas de Jordan (até reordenar blocos) é
1 times 2 times 2 = 4

Resposta

As quatro formas canônicas de Jordan possíveis são, em notação de soma direta de blocos Jk(lambda):
J^(1) ;=; J2(0)oplus J1(0);oplus;J2(-3)oplus J2(-3);oplus;J2(5)oplus J2(5),
J^(2) ;=; J2(0)oplus J1(0);oplus;J2(-3)oplus J2(-3);oplus;J2(5)oplus J1(5)oplus J1(5),
J^(3) ;=; J2(0)oplus J1(0);oplus;J2(-3)oplus J1(-3)oplus J1(-3);oplus;J2(5)oplus J2(5),
J^(4) ;=; J2(0)oplus J1(0);oplus;J2(-3)oplus J1(-3)oplus J1(-3);oplus;J2(5)oplus J1(5)oplus J1(5)

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