Resolver os seguintes sistemas de congruências lineares:
lx equiv 3(bmod 5) x equiv 5(bmod 7) x equiv 7(bmod 11).

Passo 1

Temos o sistema de congruências
x equiv 3 pmod5, x equiv 5 pmod7, x equiv 7 pmod11,
cujo conteúdo é o Teorema Chinês do Resto (CRT). Como 5, 7 e 11 são coprimos dois a dois, existe solução única módulo
N = 5 times 7 times 11 = 385

Passo 2

Definimos para cada i
Ni = Nmi,
onde m1=5, m2=7, m3=11. Assim:
N1 = 3855 = 77, N2 = 3857 = 55, N3 = 38511 = 35

Passo 3

Para aplicar o CRT precisamos dos inversos de Ni módulo mi. Isto é, achar yi tal que
Ni,yi equiv 1 pmodmi
  • Para i=1: 77 equiv 2 pmod5 e resolvemos 2,y1equiv1pmod5, dando y1=3 pois 2cdot3=6equiv1.
  • Para i=2: 55 equiv 6 pmod7 e 6,y2equiv1pmod7 tem solução y2=6 pois 6cdot6=36equiv1.
  • Para i=3: 35 equiv 2 pmod11 e 2,y3equiv1pmod11 y3=6 pois 2cdot6=12equiv1.

Passo 4

Pelo CRT a solução é
x ;equiv; sumi=1^3 ai,Ni,yi ;=; 3cdot77cdot3 ;+; 5cdot55cdot6 ;+; 7cdot35cdot6 pmod385
Calculando:
3cdot77cdot3 = 693, 5cdot55cdot6 = 1650, 7cdot35cdot6 = 1470,
e somando
693 + 1650 + 1470 = 3813
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x equiv 3813 pmod385 Longrightarrow x equiv 3813 - 9cdot385 = 348 pmod385

Resposta

x equiv 348 pmod385

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