Seja o operador linear definido por . E sejam os subespaços e . Mostre que:
(a) e são subespaços -invariantes.
(b) .
(c) Sendo , com uma base de e uma base de , calcule .
Passo 1
O enunciado define o operador linear
e os subespaços
Pede-se (a) mostrar que e são invariantes por , (b) provar que e (c), dado base de e base de , calcular a matriz em . Usaremos checagem direta de imagens, argumento de soma direta e coordenadas em base canônica.
Passo 2
Para temos
logo é -invariante.
Para temos
logo é -invariante.
Passo 3
Note que e . Qualquer escreve-se unicamente como
onde e . Além disso, se um vetor pertence a ambos os subespaços, suas quatro coordenadas devem ser nulas, então . Daí