Seja T: R^4 R^4 o operador linear definido por T(x, y, z, t)=(2 x-t, y+z, y,-x+2 t). E sejam os subespaços W1=(x, 0,0, t) ; x, t in R e W2=(0, y, z, 0) ; y, z in R. Mostre que:
(a) W1 e W2 são subespaços T-invariantes.
(b) R^4=W1 oplus W2.
(c) Sendo B=B1 cup B2, com B1 uma base de W1 e B2 uma base de W2, calcule [T]B.

Passo 1

O enunciado define o operador linear
Tcolon R^4 to R^4, T(x,y,z,t) = (2x - t,;y+z,;y,;-x + 2t),
e os subespaços
W1 = (x,0,0,t)mid x,tinR, W2 = (0,y,z,0)mid y,zinR
Pede-se (a) mostrar que W1 e W2 são invariantes por T, (b) provar que R^4 = W1oplus W2 e (c), dado B1 base de W1 e B2 base de W2, calcular a matriz [T]B em B = B1cup B2. Usaremos checagem direta de imagens, argumento de soma direta e coordenadas em base canônica.

Passo 2

Para (x,0,0,t)in W1 temos
T(x,0,0,t) = (2x - t,;0+0,;0,;-x+2t) = (2x - t,,0,,0,,-x+2t)in W1,
logo W1 é T-invariante.
Para (0,y,z,0)in W2 temos
T(0,y,z,0) = (0-0,;y+z,;y,;0) = (0,;y+z,;y,;0)in W2,
logo W2 é T-invariante.

Passo 3

Note que dim W1=2 e dim W2=2. Qualquer (x,y,z,t)inR^4 escreve-se unicamente como
(x,y,z,t) = (x,0,0,t) + (0,y,z,0),
onde (x,0,0,t)in W1 e (0,y,z,0)in W2. Além disso, se um vetor pertence a ambos os subespaços, suas quatro coordenadas devem ser nulas, então W1cap W2=0. Daí
R^4 = W1 oplus W2

Passo 4

Escolhemos as bases canônicas
B1 = e1=(1,0,0,0),,e4=(0,0,0,1)subset W1, B2 = e2=(0,1,0,0),,e3=(0,0,1,0)subset W2,
e definimos B=(e1,e4,e2,e3). Calculamos então as colunas de [T]B:
1. T(e1) = T(1,0,0,0) = (2,0,0,-1) = 2,e1 - 1,e4 Rightarrow coluna 1: 2-100.
2. T(e4) = T(0,0,0,1) = (-1,0,0,2) = -1,e1 + 2,e4 Rightarrow coluna 2: -1200.
3. T(e2) = T(0,1,0,0) = (0,1,1,0) = 1,e2 + 1,e3 Rightarrow coluna 3: 0011.
4. T(e3) = T(0,0,1,0) = (0,1,0,0) = 1,e2 + 0,e3 Rightarrow coluna 4: 0010.

Resposta

[T]B ;=; 2 & -1 & 0 & 0 -1 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 & 0

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