Determine o valor de f^prime(1) e f (1) para as seguintes funções, utilizando as regras dadas:
a) f(x)=1+x^3
b) f(x)=raiz[3]x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor de f(1) e de f'(1) para duas funções, aplicando as regras de derivação (regra de potência e, quando necessário, regra da cadeia).

Passo 2

Para a função f(x)=1+x^3: aplicar a definição de função em x=1 e usar a regra de potência ddxx^n=nx^n-1.
Calcular f(1) em f(x)=1+x^3: substituindo x=1 temos f(1)=1+1^3=2.
Derivar f(x)=1+x^3:
f'(x)=3x^2
Avaliar em x=1: f'(1)=3cdot1^2=3.

Passo 3

Para a função f(x)=raiz[3]x^2=(x^2)^1/3: usar regra de potência composta (regra da cadeia).
Calcular f(1): f(1)=1^2/3=1.
Derivar f(x)=(x^2)^1/3 usando ddxu^1/3=13u^-2/3cdot u', com u=x^2 e u'=2x:
f'(x)=13(x^2)^-2/3cdot2x=23x^1-2/3=23x^-1/3
Avaliar em x=1: f'(1)=23cdot1^-1/3=23.

Resposta

a) f(1)=2 e f'(1)=3; b) f(1)=1 e f'(1)=tfrac23.

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