Resolver os seguintes sistemas:
b) l2 x equiv 1(bmod 5) 3 x equiv 2(bmod 7) 5 x equiv 7(bmod 11]

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de congruências lineares
2x equiv 1 pmod5, 3x equiv 2 pmod7, 5x equiv 7 pmod11
O conteúdo principal é resolução de equações modulares por inversos e depois aplicação do Teorema Chinês dos Restos (CRT). Vamos primeiro encontrar x em cada módulo e depois combinar as soluções.

Passo 2

Resolver 2x equiv 1 pmod5. O inverso de 2 em Z5 é 3 porque
2cdot3 = 6 equiv 1 pmod5
Logo
x equiv 3cdot1 = 3 pmod5

Passo 3

Resolver 3x equiv 2 pmod7. O inverso de 3 em Z7 é 5 porque
3cdot5 = 15 equiv 1 pmod7
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x equiv 5cdot2 = 10 equiv 3 pmod7

Passo 4

Resolver 5x equiv 7 pmod11. O inverso de 5 em Z11 é 9 porque
5cdot9 = 45 equiv 1 pmod11
Logo
x equiv 9cdot7 = 63 equiv 8 pmod11

Passo 5

Agora temos
x equiv 3 pmod5, x equiv 3 pmod7, x equiv 8 pmod11
Como ,3 é o mesmo resíduo em bmod5 e bmod7, podemos combinar esses dois para obter
x equiv 3 pmod35

Passo 6

Escrevendo x = 3 + 35k, impomos a condição em bmod11:
3 + 35k equiv 8 pmod11 Longrightarrow 35k equiv 5 pmod11
Como 35equiv 2pmod11, isso dá
2k equiv 5 pmod11 Longrightarrow k equiv 6cdot5 = 30 equiv 8 pmod11
Logo k = 8 + 11m e
x = 3 + 35(8 + 11m) = 3 + 280 + 385m = 283 + 385m

Resposta

x equiv 283 pmod385

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