Por substituição mude as integrais a integrais racionais
\int \frac{d t}{\left(e^{t}-e^{-t}\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para transformar
\int \frac{d t}{\bigl(e^{t}-e^{-t}\bigr)^{2}}
numa integral de função racional, usando uma substituição adequada.

Passo 2

Observe que se fizermos
x = e^{t},
então
t = \ln x \quad\text{e}\quad d t = \frac{d x}{x}.
Além disso,
e^{-t} = \frac{1}{e^{t}} = \frac{1}{x}.

Passo 3

Reescrevemos o denominador em função de x:
e^{t}-e^{-t} = x - \frac{1}{x} = \frac{x^{2}-1}{x},
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\bigl(e^{t}-e^{-t}\bigr)^{2} = \frac{(x^{2}-1)^{2}}{x^{2}}.

Passo 4

Substituindo em \displaystyle \int \frac{d t}{(e^{t}-e^{-t})^{2}}:
\frac{d t}{(e^{t}-e^{-t})^{2}} = \frac{\frac{d x}{x}}{\frac{(x^{2}-1)^{2}}{x^{2}}} = \frac{x^{2}}{x\,(x^{2}-1)^{2}}\,d x = \frac{x\,d x}{(x^{2}-1)^{2}}.
Portanto a integral original vira uma integral racional:
\int \frac{d t}{\bigl(e^{t}-e^{-t}\bigr)^{2}} = \int \frac{x\,d x}{(x^{2}-1)^{2}}.

Resposta

\int \frac{d t}{\bigl(e^{t}-e^{-t}\bigr)^{2}} = \int \frac{x\,d x}{(x^{2}-1)^{2}}.

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